Question

设f(x)=根号x,p,q大于0,且p+q=1。求证pf(x1)+qf(x2)小于等于f(px1+qx2)

Answer 1

写的详细了点,好懂点 你在草稿纸上写出来其实只有两三行
看懂了很容易写
f(px1+qx2)=√（pX1＋qX2）
平方得（pX1＋qX2）
因为 p+q=1
所以（pX1＋qX2)(p+q）=（pX1＋qX2）
根据柯西不等式则 (pX1＋qX2）=（pX1＋qX2）(p+q)大于等于
（p√X1+q√X2)^2
即(pX1＋qX2)大于等于（p√X1+q√X2)^2
两边都开根号
所以√（pX1＋qX2）大于等于（p√X1+q√X2)
（p√X1+q√X2)就是 pf(x1)+qf(x2)
所以 f(px1+qx2)=√（pX1＋qX2）大于等于pf(x1)+qf(x2)
则 f(px1+qx2)大于等于pf(x1)+qf(x2)
即pf(x1)+qf(x2)小于等于f(px1+qx2)

Answer 2

f(x)=√x
pf(x1)+qf(x2)=p√x1+q√x2
f(px1+qx2)=√(px1+qx2)
p,q大于0,
则，[pf(x1)+qf(x2)]^2-[f(px1+qx2)]^2=
p^2x1+q^2x2+2pq√x1x2-(px1+qx2)
=(p^2-p)x1+(q^2-q)x2+2pq√x1x2
=p(p-1)x1+q(q-1)x2+2pq√x1x2
p+q=1,则
p(p-1)x1+q(q-1)x2+2pq√x1x2
=-(pqx1+pqx2)+2pq√x1x2
由重要不等式得：
(pqx1+pqx2)≥2√pqx1pqx2=2pq√x1x2
所以-(pqx1+pqx2)+2pq√x1x2≤0
所以[pf(x1)+qf(x2)]^2-[f(px1+qx2)]^2≤0
所以[pf(x1)+qf(x2)]≤[f(px1+qx2)]^2

Answer 3

题目等价于证明
p√x1+q√x2<=√(px1+qx2)
由于p,q都大于0，且小于1，所以不等式两边显然都大于0

两边平方，则左边的平方为：p^2*x1+q^2*x2+2pq√(x1x2)
右边的平方位：px1+qx2

因此题目转化为证明 右边平方大于等于左边平方
即证：(px1+qx2)-[p^2*x1+q^2*x2+2pq√(x1x2)]>=0

上式化简为
p(1-p)x1+q(1-q)x2-2pq√(x1x2) ------------------ (*)

1. 当x1，x2不全等于0时，(*)式有

p(1-p)x1+q(1-q)x2-2pq√(x1x2)
> px1+qx2-2pq√(x1x2)
=√(px1-qx2)
>=0
此时，显然(*)式满足

p(1-p)x1+q(1-q)x2-2pq√(x1x2)>0

2. 当x1，x2均等于0时，(*)式有
p(1-p)x1+q(1-q)x2-2pq√(x1x2) = 0

综合1， 2可知
p(1-p)x1+q(1-q)x2-2pq√(x1x2)>=0

因此题目可证