Question

求解一道智力题~~（移动公司面试题中的。。）

已知两个1~30之间的数字，甲知道两数之和，乙知道两数之积。

甲问乙："你知道是哪两个数吗？"乙说："不知道"；

乙问甲："你知道是哪两个数吗？"甲说："也不知道"；

于是，乙说："那我知道了"；

随后甲也说："那我也知道了"；

这两个数是什么？

Answer 1

您好，这道题有一定的难度，需要考虑的数很多，不过如果限制在1`30之间就好办多了。
按照甲第一句话的后半部分，我们肯定甲知道的和S肯定不会大于54。 因为如果和54=1。那么（下面我说的“至少两组数”中的两组数都不相同，而且的确存在（也就是那些数都小于100）的理由我就不写了，根据条件很显然） a)或者乙的M=2*a*b，乙就会在(2*a,b)和(2,a*b)至少两组数里拿不定主意（a和 b都是奇数，所以这两组数一定不同）； b)或者M=2^n*a*b， 如果n>1，那么乙就会在(2^(n-1)*a,2*b)和(2^n*a,b)至少两组数里拿不定主意； 如果n=1，而且a不等于b，那么乙就会在(2*a,b)和(2b,a)至少两组数里拿不定主 意； 如果n=1，而且a等于b，这意味着S=a+2*a=3a，所以S一定是3的倍数，我们只要 讨论S=27就可以了。27如果被拆成了S=9+18，那么乙拿到的M=9*18，他就会在 (9，18)和(27,6)至少两组数里拿不定主意。 （上面对51的讨论就是从这最后一种情况的讨论发现的，我不知道上面的论证是否 过分烦琐了，但是看看51这个“特例”，我怀疑严格的论证可能就得这么烦） 现在我们知道，当且仅当甲得到的和数S在 C={11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47, 53} 中，他才会说出“我虽然不能确定这两个数是什么，但是我肯定你也不知道这两个数是什么”这句话 乙可以和我们得到同样的结论，他还比我们多知道那个M。 4)乙的话“我现在能够确定这两个数字了”表明，他把M分解成素因子后，然后组合成关于那两个数的若干个猜想中，有且仅有一个猜想的和在C中。否则的话，他还是会在多个猜想之间拿不定主意。 甲听了乙的话也可以得到和我们一样的结论，他还比我们多知道那个S。 5)甲的话“我现在也知道这两个数字是什么了”表明，他把S拆成两数和后，也得到了关于那两个数的若干个猜想，但是在所有这些拆法中，只有一种满足4)里的条件，否则他不会知道究竟是哪种情况，使得乙推断出那两个数来。 于是我们可以排除掉C中那些可以用两种方法表示为S=2^n+p的S，其中n>1，p为素数。因为如果S=2^n1+p1=2^n2+p2，无论是(2^n1,p1)还是(2^n2,p2)这两种情况，乙都可以由M=2^n1*p1或M=2^n2*p2来断定出正确的结果，因为由M得到的各种两数组合，只有(2^n,p)这样的组合，两数和才是奇数，从而在C中，于是乙就可以宣布自己知道了是怎么回事，可甲却还得为(2^n1,p1)还是(2^n2,p2)这两种情况犯愁。 因为11=4+7=8+3，23=4+19=16+7，27=4+23=16+11，35=4+31=16+19，37=8+29=32+5， 47=4+43=16+31。于是S的可能值只能在 17 29 41 53 中。让我们继续缩小这个表。 29不可能，因为29=2+27=4+25。无论是(2,27)和(4,25)，乙都可以正确判断出来： a)如果是(2,27)，M=2*27=2*3*3*3，那么乙可以猜的组合是(2,27)(3,18)(6,9)， 后面两种对应的S为21和15，都不在C中，故不可能，于是只能是(2,27)。 b)如果是(4,25)，M=4*25=2*2*5*5，那么乙可以猜的组合是(2,50)(4,25)(5,20) (10,10)。只有(4,25)的S才在C中。可是甲却要为乙的M到底是2*27还是4*25苦恼。 41不可能，因为41=4+37=10+31。后面推理略。 53不可能，因为53=6+47=16+37。后面推理略。 研究一下17。这下我们得考虑所有17的两数和拆法： (2,15)：那么M=2*15=2*3*5=6*5，而6+5=11也在C中，所以一定不是这个M，否则4) 的条件不能满足，乙“我现在能够确定这两个数字了”的话说不出来。 (3,14)：那么M=3*14=2*3*7=2*21，而2+21=23也在C中。后面推理略。 (4,13)：那么M=4*13=2*2*13。那么乙可以猜的组合是(2,26)(4,13)，只有(4,13) 的和在C中，所以这种情况乙可以说4)中的话。 (5,12)：那么M=5*12=2*2*3*5=3*20，而3+20=23也在C中。后面推理略。 (6,11)：那么M=6*11=2*3*11=2*33，而2+33=35也在C中。后面推理略。 (7,10)：那么M=7*10=2*5*7=2*35，而2+35=37也在C中。后面推理略。 (8,9)：那么M=8*9=2*2*2*3*3=3*24，而3+24=27也在C中。后面推理略。 于是在S=17时，只有(4,13)这种情况，乙才可以猜出那两数是什么，既然如此，甲就知道这两个数是什么，说出“我现在也知道这两个数字是什么了”。 听了甲的话，于是我们也知道，这两数该是(4,13)。

Answer 2

设他们为a,b

则
a,b属于N*且a,b<31
a+b=甲知道
ab=乙知道

乙说：不知道

说明这两个数不是(质数,1)或(质数,质数)

甲说：也不知道

说明它们不是(1,1)也不是(30,30) (1,2) (29,30)

乙说：那我知道了

说明乙那个积有两种可能
(a,b)或[(30,30) (1,2) (29,30)中的一个]

甲说：那我也知道了

这个什么也说明不了

Answer 3

答案是2和2 肯定对，应为是2和2的话，甲知道的就是4，4可以是1+3或2+2，如果是1和3的话，甲问乙，乙就会说知道，应为乙知道积，只有1*3才等于3，但是乙说不知道，所以就只有2和2了。 其它数都不行！

Answer 4

允许两数重复的情况下
答案为x=1，y=4；甲知道和A=x+y=5，乙知道积B=x*y=4
不允许两数重复的情况下有两种答案
答案1：为x=1，y=6；甲知道和A=x+y=7，乙知道积B=x*y=6
答案2：为x=1，y=8；甲知道和A=x+y=9，乙知道积B=x*y=8
解：
设这两个数为x，y.
甲知道两数之和 A=x+y；
乙知道两数之积 B=x*y；
该题分两种情况 ：
允许重复， 有(1 <= x <= y <= 30)；
不允许重复，有(1 <= x < y <= 30)；
当不允许重复，即(1 <= x < y <= 30)；
1)由题设条件：乙不知道答案
<=> B=x*y 解不唯一
=> B=x*y 为非质数
又∵ x ≠ y
∴ B ≠ k*k (其中k∈N)
结论(推论1)：
B=x*y 非质数且 B ≠ k*k (其中k∈N)
即：B ∈(6，8，10，12，14，15，18，20...)
证明过程略。
2)由题设条件：甲不知道答案
<=> A=x+y 解不唯一
=> A >= 5；
分两种情况：
A=5，A=6时x，y有双解
A>=7 时x，y有三重及三重以上解
假设 A=x+y=5
则有双解
x1=1，y1=4；
x2=2，y2=3
代入公式B=x*y：
B1=x1*y1=1*4=4；(不满足推论1，舍去)
B2=x2*y2=2*3=6；
得到唯一解x=2，y=3即甲知道答案。
与题设条件："甲不知道答案"相矛盾，
故假设不成立，A=x+y≠5
假设 A=x+y=6
则有双解。
x1=1，y1=5；
x2=2，y2=4
代入公式B=x*y：
B1=x1*y1=1*5=5；(不满足推论1，舍去)
B2=x2*y2=2*4=8；
得到唯一解x=2，y=4
即甲知道答案
与题设条件："甲不知道答案"相矛盾
故假设不成立，A=x+y≠6
当A>=7时
∵ x，y的解至少存在两种满足推论1的解
B1=x1*y1=2*(A-2)
B2=x2*y2=3*(A-3)
∴ 符合条件
结论(推论2)：A >= 7
3)由题设条件：乙说"那我知道了"
=>乙通过已知条件B=x*y及推论(1)(2)可以得出唯一解
即：
A=x+y， A >= 7
B=x*y， B ∈(6，8，10，12，14，15，16，18，20...)
1 <= x < y <= 30
x，y存在唯一解
当 B=6 时：有两组解
x1=1，y1=6
x2=2，y2=3 (∵ x2+y2=2+3=5 < 7∴不合题意，舍去)
得到唯一解 x=1，y=6
当 B=8 时：有两组解
x1=1，y1=8
x2=2，y2=4 (∵ x2+y2=2+4=6 < 7∴不合题意，舍去)
得到唯一解 x=1，y=8
当 B>8 时：容易证明均为多重解
结论：
当B=6时有唯一解 x=1，y=6当B=8时有唯一解 x=1，y=8
4)由题设条件：甲说"那我也知道了"
=> 甲通过已知条件A=x+y及推论(3)可以得出唯一解
综上所述，原题所求有两组解：
x1=1，y1=6
x2=1，y2=8
当x<=y时，有(1 <= x <= y <= 30)；
同理可得唯一解 x=1，y=4