Question

4.(1)设 e^z＝x/y+xyz, 求偏导

Answer 1

我们要求解偏导数，首先需要确定z是自变量，x和y是因变量。
对于给定的方程 e^z = x/(y + xyz)，我们可以对两边同时取自然对数，得到 ln(e^z) = ln(x/(y + xyz))。

根据对数的性质，左边简化为 z，右边简化为 ln(x) - ln(y + xyz)。

现在我们可以对等式两边分别对z、x和y求偏导数。

对z求偏导数，左边为 1，右边为 0（因为z不涉及到x和y）。

对x求偏导数，左边为 0（因为x不涉及到z），右边为 1/x。

对y求偏导数，左边为 0（因为y不涉及到z），右边为 -1/(y + xyz) - xy/(y + xyz)^2。

综上所述，偏导数如下：

∂z/∂z = 1
∂z/∂x = 0
∂z/∂y = -1/(y + xyz) - xy/(y + xyz)^2

Answer 2

e^z ＝ x/y+xyz
两边对 x 求偏导， 注意 z 是 x， y 的函数， 得
e^z(∂z/∂x) ＝ 1/y + yz + xy(∂z/∂x)
ye^z(∂z/∂x) ＝ 1 + y^2z + xy^2(∂z/∂x)
∂z/∂x ＝ (1+y^2z)/(ye^z-xy^2)
原式两边对 y 求偏导， 注意 z 是 x， y 的函数， 得
e^z(∂z/∂y) ＝ -x/y^2 + xz + xy(∂z/∂y)
y^2e^z(∂z/∂x) ＝ -x + xy^2z + xy^3(∂z/∂y)
∂z/∂y ＝ (-x+xy^2z)/(y^2e^z-xy^3)