Question

思考题没入为奇数,求证=F(x)(x+y)(y+2)+2)可整除(x+y+2-x-y-思路:利用余？

Answer 1

题目中的式子为 F(x) = (x + y)(y + 2) + 2，需要证明它能够整除 (x + y + 2 - x - y)^n，其中 n 是奇数。根据二项式定理，有：(x + y + 2 - x - y)^n = 2^n 因此，只需证明 F(x) 能够整除 2^n 即可。将 F(x) 展开得到：F(x) = xy + 2x + y^2 + 2y + 4  因为 2^n 是偶数，而 F(x) 中的前四个项都是偶数，所以只需要证明 F(x) 中的常数项 4 能够整除 2^n 即可。

可以利用取模运算进行证明。因为任何偶数都能表示成 2 的某个非负整数次幂与奇数的积，即：2^n = 2^k × m，其中 k 是非负整数，m 是奇数 因此，只需要证明 4 能够整除 2^k 即可。若 k = 0，则结论显然成立；若 k > 0，则有：2^k = 2 × 2^(k-1)

因为 2^(k-1) 是一个偶数，所以 2^k 能够被 4 整除。因此，结论得证。

综上所述，原式 F(x) = (x + y)(y + 2) + 2 能够整除 (x + y + 2 - x - y)^n，其中 n 是奇数。

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