Question

若函数f(x)=ax2+2x+b㏑x在x=1和x=2取极值，（Ⅰ）求a，b的值。

1.求a ，b 值。2 . 求单调区间。3. 求在[1，3]上的最大值和最小值。急！！

Answer 1

1
f'(x)=2ax+2+b/x
在x=1和x=2取极值，则
f'(1)=2a+2+b=0;
f'(2)=4a+2+b/2=0
解上述方程组得
a=-1/3，b=-4/3.

2
x>0;
f(x)=-x^2/3+2x-4㏑x /3
f'(x)=-2x/3+2-4/3x
则f''(x)=-2/3+4/(3x^2)
于是f''(1)=-2/3+4/3=2/3>0;说明在x=1处函数呈凹性;是极小值;
f''(2)=-2/3+4/(3×2^2)=-1/3<0,说明在x=2处函数呈凸性;是极大值;
而f(x)是初等函数,在(0,+∞)上处处连续,则
在(0,1]上,f'(x)<0,单调递减;
在(1,2]上,f'(x)>0,单调递增;
在(2,+∞)上,f'(x)<0,单调递减.

3
根据已求出的单调区间知,f(2)=-4/3+4-(4/3)㏑2=8/3-(4/3)㏑2在单调区间(1,2]和[2,+∞)上都是极大值,也即最大值.
f(1)=-1/3+2-0=5/3是单调区间[1,2]上的极(最)小值;
而f(3)=-3+6-(4/3)㏑3=3-(4/3)㏑3<5/3=f(1),
则f(3)=3-(4/3)㏑3是[1，3]上的最小值。

最大值是f(2)=8/3-(4/3)㏑2;最小值是f(3)=3-(4/3)㏑3