Question

为什么函数二阶导数是连续的？

Answer 1

函数的二阶导数连续通常是指函数的一阶导数和二阶导数在其定义域内是连续的。

在一些特定的条件下，函数的二阶导数连续是成立的，这是基于函数的导数定义及函数的光滑性质。具体来说，如果一个函数 $f(x)$ 在某个区间上存在一阶导数 $f'(x)$，并且该一阶导数在该区间上连续，也就是不具备间断点、跳跃点或非可导点等，那么该函数的二阶导数就会在该区间上连续。

这是因为函数的一阶导数 $f'(x)$ 的连续性要求函数在定义域内不存在突变或间断，换句话说，函数不能出现角点或断裂。如果一阶导数在某一点连续，那么函数在该点的导数就是存在的。可进一步推断，如果一阶导数 $f'(x)$ 连续，则该一阶导数的导函数即二阶导数 $f''(x)$ 也存在且连续。

然而，要注意的是，并非所有的函数都具有连续的二阶导数。一些函数可能具有不连续的二阶导数，特别是在导数存在但不连续的地方，例如绝对值函数在零点处的二阶导数就是不连续的。

综上所述，函数的二阶导数连续可以成立在函数一阶导数连续的前提下，但并不是所有函数都满足这个性质。

Answer 2

函数二阶导数连续的原因主要有两方面：

1. 函数连续：对于一个函数而言，如果函数在某一点连续，那么它在该点的导数存在。如果函数在某一点的导数连续，那么函数在该点的二阶导数存在。通过这种逻辑关系，可以得出函数二阶导数连续的结论。

2. 导数的极限性质：根据导数的定义，一个函数在某一点的导数等于该点的函数值的极限值。同样地，二阶导数也可以通过函数值的极限值得到。这意味着，如果函数在一个点的导数存在，那么这个导数的极限存在，进而可以推断函数的二阶导数极限也存在。根据导数的极限性质，可以得出函数二阶导数连续的结论。

综上所述，函数二阶导数是连续的主要是因为函数连续和导数的极限性质。

Answer 3

二阶导数是连续的，即一阶导数处处可导，即一阶导数处处存在，即推出原函数处处可导.

根据该式，利用函数连续的定义，分别求出x分别趋于0- 和0+的f;;(x)的函数极限

可以得出

limf;;(0-)=limf;;(0+)=f;;(0)

即函数f;;(x)在x=0处连续。

导函数含义

如果函数y=f（x）在开区间内每一点都可导，就称函数f（x）在区间内可导。这时函数y=f（x）对于区间内的每一个确定的x值，都对应着一个确定的导数值，这就构成一个新的函数，称这个函数为原来函数y=f（x）的导函数，记作y'、f'（x）、dy/dx或df（x）/dx。