Question

初中数学问题？

sin(x)在x=0的三阶泰勒展开是多少

Answer 1

在数学中，函数的泰勒展开是一种用无穷多个项的幂级数来逼近该函数的方法。对于函数f(x)在点a处的泰勒展开，可以表示为：
f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ...
其中，f'(a)表示函数f(x)在点a处的一阶导数，f''(a)表示二阶导数，f'''(a)表示三阶导数，依此类推。
对于函数sin(x)在x=0的三阶泰勒展开，我们首先计算它在0点的导数：
f(x) = sin(x)
f'(x) = cos(x)
f''(x) = -sin(x)
f'''(x) = -cos(x)
然后，代入a=0，得到：
sin(x) ≈ sin(0) + cos(0)x - sin(0)x^2/2! - cos(0)x^3/3!
= 0 + x - 0 - 0
= x
因此，sin(x)在x=0的三阶泰勒展开为x。这意味着在x接近0的时候，可以用x来近似代替sin(x)。
希望上述回答能够帮助到您！

Answer 2

😳 : sin(x)在x=0的三阶泰勒展开是多少

👉泰勒公式

• 泰勒公式，是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数满足一定的条件，泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值做系数构建一个多项式来近似表达这个函数 [1]  。

• 泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒，他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式。泰勒公式是为了研究复杂函数性质时经常使用的近似方法之一，也是函数微分学的一项重要应用内容。

👉泰勒公式的例子

• 『例子一』 1/(1-x) =1+x+x^2+.....
  

• 『例子二』 cosx = 1-(1/2)x^2 +(1/24)x^4 +....
  

• 『例子三』 tanx = x+(1/3)x^3+....
  

👉回答

利用泰勒公式展开

f(x) = f(0) +[f'(0)/1!]x+[f''(0)/2!]x^2+....

f(x) = sinx                             => f(0) =0

f'(x)= cosx                            => f'(0)/1! =1

f''(x)= -sinx                          => f''(0)/2! =0  

f'''(x)= -cosx                        => f'''(0)/3! = -1/6  

sin(x)在x=0的三阶泰勒展开是

sinx = x-(1/6)x^3+...

• 得出结果
  

sinx = x-(1/6)x^3+...

😄:  sinx = x-(1/6)x^3+...