Question

不等式恒成立问题

已知，x属于【0，1】要使不等式x^2-ax+a+1>0 求a的范围，这种题我一直做不来，请把思路以及基础知识细细的告诉我，谢谢~

Answer 1

将x^2-ax+a+1想成一个抛物线f(x)=x^2-ax+a+1
抛物线的对称轴是x=a/2
a/2<=0时只要f(0)>0就可以了,算出此时a的范围
a/2>=1时只要f(1)>0就可以了,算出此时a的范围
a/2在(01)时只要f(a/2)>0就可以了,算出此时a的范围
然后把三个合并
答案是a>-1

Answer 2

y=x^2-ax+a+1=(x-a/2)^2-a^2/4+a+1>0
对称轴x=a/2
[1]若a/2>1
a>2,则定义域在对称轴左边，是减函数
所以x=1,y最小=1-a+a+1=2>0恒成立.

[2]0<=a/2<=1
0<=a<=2,在对称轴定义域内
x=a/2,y最小=-a^2/4+a+1>0
解得:2-2根号2<=a<=2+2根号2
则0<=a<=2

[3]a/2<0
定义域在对称轴的右边，是增函数。
x=0时，y=a+1>0
a>-1
即-1<a<0.

所以a的范围是:a>-1.

Answer 3

这种题属于恒成立问题，这种问题的一般解法是：

1.分离变量

如上题，要求解的变量是a ，就要把a分离出来，我们可以通过变形得到：

x²+1＞a（x-1）
因为 x＜1
所以 a＞x²+1/x-1

这样就完成了分离变量

2.求最值：

我先告诉你问什么要求最值

因为题目问你的是恒成立问题，如果a大于了右边（也就是x²+1/x-1
）的最大值，那么楼主我问你，a是不是永远大于右边？

所以我们要求右边最大值

右边的最大值可以通过求导数算出。

这是很简单的，我算了一下（过程就不写了）

当x属于【0，1）时，导数恒小于0，也就是说右边是一个单调递减函数。

所以当x=0 右边取到最大值 -1.
所以 a＞-1
当x=-1时 导数不存在，要另外讨论，此时：
1+a+a+1＞0
依然是 a＞-1

综上所述： a＞-1

楼主掌握了 分离变量 和 求最值的方法 理论上就能解决所有恒成立问题了，但是有些情况需要很强的技巧，这里就不多讲了。

希望你能弄懂。
^-^

Answer 4

授人以鱼不如授人以渔。

这种问题要看图说话。请楼主看我的3个图进行分析然后总结。

可以说你学会了这种方法 二次方程的问题应该都能处理了。

Answer 5

求根公式：2a分之-b加减根号下b平方减4ac