Question

如何求空间两个向量的夹角的余弦值

Answer 1

1、首先明确一个平面内的两个不共线向量。

2、假设该平面的法向量值为：(x, y, z)。

3、根据平面内不共线向量和法向量的关系，列出对应的表达式。

4、根据两个不共线向量的坐标，推导出三元一次方程组。

5、最后假设z坐标为1（即：z=1），根据方程组，即可求出该平面的法向量。

扩展：

1、内积求法：面 [公式] 是垂直 [公式] 平面的，法向量比较好写，所以我们先讨论复杂的即面 [公式] 设面 ABED的法向量为n，AB =(2,0,-2)，AD=(0,3,-1)，则 [公式] →解方程，解得一个n=(x,y,z)。【小结】这种方法容易理解，但是计算量大有时候数据复杂，赋值困难。

2、外积求法:

还是写好要求的向量AB =(2,0,-2)，AD=(0,3,-1)，运用向量的外积，用简单的算法解决计算问题。
3、特殊情况：
平面截距式方程即：平面上三个点都在坐标轴上。此时我们类比直线的截距式方程，直接写出平面方程：[公式] ，从而法向量 [公式] ，perfect.
【小结】这种方法只适用于特殊情境，在选择填空题里面出现的话非常快。

法向量，是空间解析几何的一个概念，垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量。法向量适用于解析几何。由于空间内有无数个直线垂直于已知平面，因此一个平面都存在无数个法向量（包括两个单位法向量）。