Question

求sinx/1+(cosx)^4在0到π的定积分

Answer 1

要计算定积分 ∫[0, π] sin(x) / (1 + cos^4(x)) dx，我们可以使用代换法来求解。
首先，进行代换：
令 u = cos(x)，则 du = -sin(x) dx。
在 x = 0 时，u = cos(0) = 1。
在 x = π 时，u = cos(π) = -1。
将积分的上限和下限代入代换中，得到新的积分区间 [u(π), u(0)]，即 [-1, 1]。
将代换后的表达式代入积分：
∫[u(π), u(0)] -1 / (1 + u^4) du
现在我们可以计算这个积分。注意到这是一个奇函数的积分，因此可以利用对称性简化计算。
∫[-1, 1] -1 / (1 + u^4) du = -2 * ∫[0, 1] 1 / (1 + u^4) du
我们可以使用部分分式分解来解决这个积分。
1 / (1 + u^4) = (A*u + B) / (u^2 + √2*u + 1) + (Cu + D) / (u^2 - √2*u + 1)
解出 A, B, C 和 D 后，我们可以将分式分解后的表达式积分。
最终的结果将是一个较为复杂的表达式。如果你希望得到具体的数值结果，可以使用计算工具或数学软件进行计算。