Question

已知锐角三角形ABC 对边分别为abc 且(b方+c方-a方)sinA=根号3x bccosA(1)求A值(2)求cosB+cosC的取值范围

已知锐角三角形ABC 对边分别为abc 且(b方+c方-a方)sinA=根号3 x bccosA (1)求A值 (2)求cosB+cosC的取值范围

Answer 1

1
b方+c方-a方=2bccosA,则
2bccosA·sinA=√3 bccosA
∴sinA=√3/2.
又A是锐角,则A=60度;

2
cosB+cosC
=cos[(B+C)/2+(B-C)/2]+cos[(B+C)/2-(B-C)/2]
=2cos[(B+C)/2]·cos[(B-C)/2]
=2cos[(180度-A)/2]·cos[(B-C)/2]
=2cos60度·cos[(B-C)/2]
=cos[(B-C)/2]
A=60度,则0≤B-C<90度-(180度-60度-90度)=60度.
0≤(B-C)/2<30度.
∴1≥cos[(B-C)/2]＞√3/2.
即√3/2＜cosB+cosC≤1

Answer 2

（1）由余弦定理
b^2+c^2-a^2=2bccosA
2bccosA=bccosA*3^(1/2)
cosA=0或cosA=3^(1/2)/2
A=90°或A=30°
（2）A=90°时
m=cosB+cosC=cosB+sinB=2*(1/2)sin(B+45°）
1<m≤2^(1/2)
A=30°时
m=cosB+cosC=cosB+cos(150°-B）
=（1-3^(1/2))cosB+sinB/2
=(6^(1/2)-2^(1/2))/2(sin(α+B））
其中sinα=(2-3^(1/2)/(6^(1/2)-2^(1/2),cosα=1/(6^(1/2)-2^(1/2))
1/2<=m<=(6^(1/2)-2^(1/2))/2