Question

初中数学几何题-高手进

已知Rt△ABC中BM=AC,AN=CM求证：∠BPM=45°

Answer 1

证法一（初中知识证法）：
证：已知在△ABC中,∠C=90°,点M在BC上,且BM=AC,点N在AC上,且AN=MC，AM与BN相交于点P。
设AC=BM=X，MC=AN=Y，则
BC=BM+MC=X+Y，CN=AC-AN=X-Y
AM=√（AC^2+MC^2）=√（X^2+Y^2）

过N点作NE⊥AM，交AM于E点，则△AEN∽△ACB
AE/AN=AC/AM，NE/AN=MC/AM
AE=AN*AC/AM=Y*X/√（X^2+Y^2）
NE=AN*MC/AM=Y^2/√（X^2+Y^2）

过P点作PF⊥BC，交BC于F点，则△PFM∽△ACM，△BPF∽△BNC
PF/FM=AC/MC，PF=FM*AC/MC=FM*X/Y
PF/BF=CN/BC，PF=BF*CN/BC=BF*（X-Y）/（X+Y）

BF*（X-Y）/（X+Y）=FM*X/Y
BF=（FM*X/Y）*[（X+Y）/（X-Y）]=FM*X*（X+Y）/[Y*（X-Y）]
BF=BM+FM=X+FM
FM*X*（X+Y）/[Y*（X-Y）]=X+FM
FM=XY*（X-Y）/（X^2+Y^2）

PM/FM=AM/CM
PM=FM*AM/MC=[XY*（X-Y）/（X^2+Y^2）]*[√（X^2+Y^2）/Y]
=X*（X-Y）/√（X^2+Y^2）

PE=AM-AE-PM
=√（X^2+Y^2）-Y*X/√（X^2+Y^2）-X*（X-Y）/√（X^2+Y^2）
=Y^2/√（X^2+Y^2）
=NE
因为NE⊥AM，即NE⊥PE
可知在直角△NEP中，NE=PE
故 ∠EPN=45°
但∠BPM=∠EPN
所以∠BPM=45°

证法二：
证：已知在△ABC中,∠C=90°,点M在BC上,且BM=AC,点N在AC上,且AN=MC，AM与BN相交于点P。
设AC=BM=X，MC=AN=Y，则
BC=BM+MC=X+Y，CN=AC-AN=X-Y
tan∠AMC=AC/MC=X/Y
tan∠NBC=CN/BC=（X-Y）/（X+Y）
∠AMC=∠BPM+∠NBC
∠BPM=∠AMC-∠NBC
tan∠BPM=tan（∠AMC-∠NBC）
=（tan∠AMC-tan∠NBC）/（1+tan∠AMC*tan∠NBC）
=[X/Y-（X-Y）/（X+Y）]/[1+（X/Y）*（X-Y）/（X+Y）]
=[X*（X+Y）-Y*（X-Y）]/[Y*（X+Y）+X*（X-Y）]
=（X ^2+Y ^2）/（X ^2+Y ^2）
=1
因为∠BPM<180°
所以∠BPM=45°

Answer 2

额，确实伤脑筋啊。

证法一（初中知识证法）：
证：已知在△ABC中,∠C=90°,点M在BC上,且BM=AC,点N在AC上,且AN=MC，AM与BN相交于点P。
设AC=BM=X，MC=AN=Y，则
BC=BM+MC=X+Y，CN=AC-AN=X-Y
AM=√（AC^2+MC^2）=√（X^2+Y^2）

过N点作NE⊥AM，交AM于E点，则△AEN∽△ACB
AE/AN=AC/AM，NE/AN=MC/AM
AE=AN*AC/AM=Y*X/√（X^2+Y^2）
NE=AN*MC/AM=Y^2/√（X^2+Y^2）

过P点作PF⊥BC，交BC于F点，则△PFM∽△ACM，△BPF∽△BNC
PF/FM=AC/MC，PF=FM*AC/MC=FM*X/Y
PF/BF=CN/BC，PF=BF*CN/BC=BF*（X-Y）/（X+Y）

BF*（X-Y）/（X+Y）=FM*X/Y
BF=（FM*X/Y）*[（X+Y）/（X-Y）]=FM*X*（X+Y）/[Y*（X-Y）]
BF=BM+FM=X+FM
FM*X*（X+Y）/[Y*（X-Y）]=X+FM
FM=XY*（X-Y）/（X^2+Y^2）

PM/FM=AM/CM
PM=FM*AM/MC=[XY*（X-Y）/（X^2+Y^2）]*[√（X^2+Y^2）/Y]
=X*（X-Y）/√（X^2+Y^2）

PE=AM-AE-PM
=√（X^2+Y^2）-Y*X/√（X^2+Y^2）-X*（X-Y）/√（X^2+Y^2）
=Y^2/√（X^2+Y^2）
=NE
因为NE⊥AM，即NE⊥PE
可知在直角△NEP中，NE=PE
故 ∠EPN=45°
但∠BPM=∠EPN
所以∠BPM=45°

证法二：
证：已知在△ABC中,∠C=90°,点M在BC上,且BM=AC,点N在AC上,且AN=MC，AM与BN相交于点P。
设AC=BM=X，MC=AN=Y，则
BC=BM+MC=X+Y，CN=AC-AN=X-Y
tan∠AMC=AC/MC=X/Y
tan∠NBC=CN/BC=（X-Y）/（X+Y）
∠AMC=∠BPM+∠NBC
∠BPM=∠AMC-∠NBC
tan∠BPM=tan（∠AMC-∠NBC）
=（tan∠AMC-tan∠NBC）/（1+tan∠AMC*tan∠NBC）
=[X/Y-（X-Y）/（X+Y）]/[1+（X/Y）*（X-Y）/（X+Y）]
=[X*（X+Y）-Y*（X-Y）]/[Y*（X+Y）+X*（X-Y）]
=（X ^2+Y ^2）/（X ^2+Y ^2）
=1
因为∠BPM<180°
所以∠BPM=45°

Answer 3

额，确实伤脑筋啊。

证法一（初中知识证法）：
证：已知在△ABC中,∠C=90°,点M在BC上,且BM=AC,点N在AC上,且AN=MC，AM与BN相交于点P。
设AC=BM=X，MC=AN=Y，则
BC=BM+MC=X+Y，CN=AC-AN=X-Y
AM=√（AC^2+MC^2）=√（X^2+Y^2）

过N点作NE⊥AM，交AM于E点，则△AEN∽△ACB
AE/AN=AC/AM，NE/AN=MC/AM
AE=AN*AC/AM=Y*X/√（X^2+Y^2）
NE=AN*MC/AM=Y^2/√（X^2+Y^2）

过P点作PF⊥BC，交BC于F点，则△PFM∽△ACM，△BPF∽△BNC
PF/FM=AC/MC，PF=FM*AC/MC=FM*X/Y
PF/BF=CN/BC，PF=BF*CN/BC=BF*（X-Y）/（X+Y）

BF*（X-Y）/（X+Y）=FM*X/Y
BF=（FM*X/Y）*[（X+Y）/（X-Y）]=FM*X*（X+Y）/[Y*（X-Y）]
BF=BM+FM=X+FM
FM*X*（X+Y）/[Y*（X-Y）]=X+FM
FM=XY*（X-Y）/（X^2+Y^2）

PM/FM=AM/CM
PM=FM*AM/MC=[XY*（X-Y）/（X^2+Y^2）]*[√（X^2+Y^2）/Y]
=X*（X-Y）/√（X^2+Y^2）

PE=AM-AE-PM
=√（X^2+Y^2）-Y*X/√（X^2+Y^2）-X*（X-Y）/√（X^2+Y^2）
=Y^2/√（X^2+Y^2）
=NE
因为NE⊥AM，即NE⊥PE
可知在直角△NEP中，NE=PE
故 ∠EPN=45°
但∠BPM=∠EPN
所以∠BPM=45°

Answer 4

http://zhidao.baidu.com/question/70985608.html?si=5

这都做过了。