Question

两道数学题，请高手帮忙

1.若(1/x)+(4/y)+(9/z)=1,x,y,z都是正整数，则x+y+z最小值为多少

2.设x，y，z,w是不全为零的实数，且满足xy+2yz+zw<=A(x^2+y^2+z^2+w^2),求A的最小值是多少
请认真证明，好的话会有追加分

Answer 1

第一问就像lovebeyond0321做的那样，用平均值不等式或者柯西不等式，最小值是36，当x=6，y=12，z=18的时候取得。第二问他做得不对，有一个不等式方向反了。答案应该是(1+√2)/2。

首先验证A=(1+√2)/2时，不等式对任意(x,y,z,w)成立：
2A(x^2+y^2+z^2+w^2)-2(xy+2yz+zw)
=[(1+√2)x^2+(-1+√2)y^2-2xy]+[2y^2+2z^2-4yz]+[(-1+√2)z^2+(1+√2)w^2-2zw]
=(1+√2)[x-(-1+√2)y]^2+2[y-z]^2+(1+√2)[z-(-1+√2)w]^2
>=0
然后，由上述推导可知，当x=w= -1+√2，y=z= 1时，等号成立，即，A不能更小

Answer 2

1.
(1/x)+(4/y)+(9/z)=1
x+y+z=(x+y+z)*[(1/x)+(4/y)+(9/z)]
=1+4+9+y/x+4x/y+4z/y+9y/z+z/x+9x/z
平均值不等式
>=1+4+9+4+12+6
=36
即(x+y+z)>=36
原不等式得证

或可直接由柯西不等式得到
(x+y+z)(1/x+4/y+9/z)>=(1+2+3)^2=36
2.
xy+2yz+zw<=A(x^2+y^2+z^2+w^2)
A>=(xy+2yz+zw)/(x^2+y^2+z^2+w^2)
x^2+y^2>=2xy,z^2+w^2>=2zw
A>=(xy+2yz+zw)/(2xy+2zw)
=1/2 + yz/2(xy+zw) (xy+zw>=2√xyzw)
=1/2+ √xyzw/2xy
x，y，z,w是不全为零的实数,那么xyzw=0
A>= 1/2

最小值是1/2

Answer 3

1. 8
2. 题错了吧！！！（……………………）

Answer 4

有点难。此高手不擅长