Question

高中数学 法向量

要算二面角要用到法向量吧？我法向量不会算，请各位老师教教我。

Answer 1

如果是高中数学内容，没有涉及到平面的解析方程的话，可以按照下面方法解决

首先，确定该平面内任意两不共线的向量，知道它们的坐标，这里假设为（abc）和（def）（已知它们不共线）

然后，设该平面法向量为（xy1）
那么，该向量为平面法向量的充要条件是
（abc）点乘（xy1）=0即ax+by+c=0
（def）点乘（xy1）=0即dx+ey+f=0
联立两个方程，得到法向量（xy1）

最后，如果有要求的话，可以把它化成同方向的单位向量，即讲x y 1分别除以该向量的模

Answer 2

设平面1的方程为 a(1)[x-u(1)] + b(1)[y-v(1)] + c(1)[z-w(1)] = 0,
平面2的方程为 a(2)[x-u(2)] + b(2)[y-v(2)] + c(2)[z-w(2)] = 0.
其中，a(i),b(i),c(i),u(i),v(i),w(i),i=1,2都是常数。

则，
平面1的1个法向量为[a(1),b(1),c(1)],
平面2的1个法向量为[a(2),b(2),c(2)].

若平面1和平面2不平行，则平面1和平面2的交线的1个方向向量T = 2个法向量之间的叉积 = [a(1),b(1),c(1)] X [a(2),b(2),c(2)] = [b(1)*c(2)-c(1)*b(2), c(1)*a(2)-a(1)*c(2), a(1)*b(2)-b(1)*a(2)],

记T = [t(1),t(2),t(3)].
以T为法向量，过点(u(1),v(1),w(1))的平面3的方程为
t(1)[x-u(1)] + t(2)[y-v(1)] + t(3)[z-w(1)] = 0.

平面3同时垂直于平面1和平面2.
由
a(1)[x-u(1)] + b(1)[y-v(1)] + c(1)[z-w(1)] = 0,
a(2)[x-u(2)] + b(2)[y-v(2)] + c(2)[z-w(2)] = 0.
t(1)[x-u(1)] + t(2)[y-v(1)] + t(3)[z-w(1)] = 0.
可以解出3个平面的交点坐标（u(3),v(3),w(3)）。

记点(u(1),v(1),w(1))到点(u(3),v(3),w(3))的距离为 D,
点(u(1),v(1),w(1))到平面2的距离为 d,
则
平面1和平面2之间的夹角的正弦 = d/D.
二面角 = arcsin(d/D).

Answer 3

建立坐标系，再把各个项量用(x,y,z）形式表示，在用法向量与该平面内的任意一条直线垂直，数量级为零，这样就算出来啦！你多去看看吧！注意总结，学习方法很重要。

Answer 4

建立坐标系最重要，再把各个项量用(x,y,z）形式表示，最后套入公式。OK（一定可以）
很多人都说自己“不会算”，其实是自己不敢去尝试，只要多做一点，定能熟能生瞧。