Question

CPK中δ的计算公式

请问一下哪位网友可以说明一下CPK中 计算公式中为什么在除以N-1，而不是N。谢谢

Answer 1

cpk中δ表示的就是样本的标准差.所以问题可以转化成为什么样本标准差公式中使用的是n-1而不是n的问题了.这里涉及到自由度的问题.

自由度，很多统计量的计算公式中都有自由度的概念，可为什么同样是计算标准差，总体标准差的自由度是n，而样本标准差的自由度就是n-1？为什么其它公式中的自由度还有n-2、n-3呢？ 它到底是什么含意？

一般总体方差(sigma^2)，其实它是衡量所有数据对于中心位置（总体平均）平均差异的概念，所以也称为离散程度，通常表示为sum(Xi-Xbar)^1/2/N ，（有多少个数据就除多少）而样本方差(S^2)，则是利用样本数据所计算出来估计总体变异用的（样本统计量的基本目的：少量资料估计总体）.一般习惯上，总体怎么算，样本就怎么算，可是在统计上估计量（或叫样本统计量）必须符合一个特性--无偏性，也就是估计量的数学期望值要等于被估计的总体参数=> E(S^2)=sigma^2（无偏估计）。很不幸的，样本变异数E(S^2)并不会等于sigma^2所以必须做修正，而修正后即为sum(Xi-Xbar)^2/(N-1).才会继续带出后来的自由度概念。（自由度是由修正样本统计量得来的吗？）
　　网上一些文献的说法也是林林总总。
　　金志成实验设计书中的定义：能独立变化的数据数目。只要有n-1个数确定，第n个值就确定了，它不能自由变化。所以自由度就是n-1。自由度表示的是一组数据可以自由表化的数量的多少。
　　通俗点说，一个班上有50个人，我们知道他们语文成绩平均分为80，现在只需要知道49个人的成绩就能推断出剩下那个人的成绩。你可以随便报出49个人的成绩，但是最后一个人的你不能瞎说，因为平均分已经固定下来了，自由度少一个了。
　　自由度的设定是出于这样一个理由：在总体平均数未知时，用样本平均数去计算离差（常用小s）会受到一个限制————要计算标准差（小s）就必须先知道样本平均数，而样本平均数和n都知道的情况下，数据的总和就是一个常数了。所以，“最后一个”样本数据就不可以变了，因为它要是变，总和就变了，而这是不允许的。至于有的自由度是n－2什么的，都是同样道理。
　　n-1是通常的计算方法，更准确的讲应该是n-k，n表示“处理”的数量，k表示实际需要计算的参数的数量。如需要计算2个参数，则数据里只有n-2个数据可以自由变化。例如，一组数据，平均数一定，则这组数据有n-1个数据可以自由变化；如一组数据平均数一定，标准差也一定，则有n-2个数据可以自由变化。df=n-k的得出是需要大量的数理统计的证明的。太复杂的情况，我们就不讨论了。

对卡方分布，t分布而言，从其统计量的来源看，卡方分布自由度n理解为来自n个服从正态分布的样本，而且他们之间并没有什么约束关系，也就是说n个样本都是可以自由变化的。
而对于我们在统计检验中构造的那些统计量而言，也可以这样理解，一般自由度并不为n，是因为这n个样本之间有约束关系，约束方程的个数为a，则自由度为n－a，因为一般约束方程的个数等于未知参数的个数，也就是说自由度是n－未知参数的个数，但是这种解释在有些场合不容易理解，也没有说到本质上，严格的解释应该还是从统计量对应的二次型的秩的角度来理解。

Answer 2

这是个很好的问题，可惜2楼的朋友回答得太广、太散，却没有简单地命中问题的根本，估计是网上Copy的原因吧。

显然，如果把分母减去1（就是“除以n-1”）就会使得标准差大于实际的大小，那么我们为何还要这么做呢？这主要是基于2方面原因：

1.样本标准差是总体标准差的估计值，只有当它除以(n-1)时，得出的情况才会是无偏估计。（当然，如果你的目的只是描述样本的特征，那么有偏估计也是可以的；但大部分情况是想用样本估计总体参数，此时最好用无偏统计值）

2. 好的研究人员一般总是保守的，即：如果我们不得不出错，那么我们宁可出错是由于过高估计了总体的标准差（而非可能导致严重后果的“低估”），于是，除以一个较小的分母（n-1)就可以让我们做到这一点。

其实，一般而言，如果样本规模越大，那么“除以n”和“除以n-1”的差异也会越小，也就是说，它们引起的“量变”不大，但是它们却有着“有偏估计”与“无偏估计”的“质变”。又，通常情况下，统计数据时，样本数据量总是比较多的，因此，通常的样本标准差公式取的是“除以n-1”

Answer 3

没有