Question

（二重积分）求由曲面Z=X2+2Y2及Z=6-2X2-Y2所围成的立体的体积。

我搞不清楚的是后面那个方程的图形是什么样的，还有我看见参考书上用后面一个方程减去前面一个方程，很是不解，不知道为什么？

Answer 1

看图，中间鼓出来的部分就是这两个曲线围成的立体体积 

这两个面一个向上凸，一个向下凹，刚好围成一个稍扁长的区域 

那求体积就是用上面的面减去下面的面再积分 

积分范围就是它们的交线

Answer 2

图形是一个开口向上的抛物面和一个开口向下的抛物面围成的立体，不用考虑图形具体的样子
首先求立体在xy坐标面上的投影区域，把两个曲面的交线投影到xy面上去，就是两个方程联立，消去z，得x^2＋y^2＝2，所以立体在xy坐标面上的投影区域是D：x^2＋y^2≤2
其次，根据二重积分的几何意义，立体的体积是两个曲顶柱体的体积的差，两个曲顶分别是Z＝x^2+2y^2和z＝6-2x^2-y^2，很容易判断得到z＝6-2x^2-y^2在Z＝x^2+2y^2上方
所以，立体的体积V＝∫∫(D)[(6-2x^2-2y^2)－(x^2+2y^2)]dxdy，在极坐标系下化为累次积分：V＝∫(0～2π)dθ∫(0～√2)(6－3ρ^2)ρdρ＝6π

Answer 3

你可以想象一下，这个z是恒非负0的，确定z轴为向上的轴，当z的值确定时，可以得到x^2/z+2y^2/z=1，即这个图形是一个倒椭圆锥，不知道这么形容贴切不，因为这个图像被平行于XOY轴的平面所截得到的是椭圆，在XOY面上的投影，就是整个XOY平面吧，因为x,y的取值没有限定，整个图像的投影是xoy全平面，但被任意平行于xoy面的平面z=k(k>0)所截得到的图形是椭圆。

z=x*x+2y*y与6-z=x*x+2y*y围成了闭合图形，算一下z=6-z,得到z=3，也就是说，这两个方程图像在z=3处闭合，本题既是算0<=z<=3时的积分，此时6-z>z，z的差值为(6-z)-z=6-2z
本题积分为∫∫(6-2z)ds,s即积分体积在xoy面的投影，椭圆x^2+2y^2=3
采用变换，r^2=x^2+2y^2,x=rcosθ,y=(r/√2)sinθ,注意θ∈[0,2π],
r∈[0,√3],z=x^2+2y^2=r^2
∫∫(6-2z)ds=∫∫r(6-2r^2)dθdr（注意变换后多出一个r，θ从0积到2π，r从0积到√3）
=2π*（9/2）=9π

希望对楼主有帮助 要是还不懂可以问我 呵呵

Answer 4

http://hi.baidu.com/ggggwhw/album/item/8ff75efaa148c847024f56a5.html
两个图象都是椭圆双曲面,xy方向的截面为椭圆,yz和xz方向的截面是抛物线.
两个方程做差就是xy平面上的高线长度了.然后在x,y方向上积分.
g(x,y)
=x^2 + 2 y^2 - (6 - 2 x^2 - y^2)
=-6 + 3 x^2 + 3 y^2
令g(x,y)=0可求出积分边界为半径为√(2)的圆,x^2+y^2=2,
于是积分区域为x∈[-√(2),√(2)],y∈[-√(2^2-x^2),√(2^2-x^2)],
也可以进行变量代换换成极柱坐标系进行积分.
后面的我不说了.

Answer 5

两者都是抛物线型的锥状体（应该明白我是什么意思吧），，两者方向相反

我先回答的～～
如有疑问请在线交谈～～