Question

设函数f(x)=ax3-3x+1(x属于R)，若对于任意x属于-1到1闭区间，总有f(x)>= 0成立则实数a=

急需简便方法

Answer 1

对于任意闭区间X都有f(x)>= 0，那么有如下两个式子
F(-1) = a (-1)3 - 3(-1)+ 1 >=0
F(1) = a(1)3 - 3*1 + 1 > =0

分别解的 a <= 4 和 a>=2

所以a的范围是 2 =< a <= 4

Answer 2

f(x)≥0总成立，即：ax^3≥3x-1

当x=0时，显然成立,对任意的a都成立

当x>0时，a≥3/x^2-1/x^3=1/x^2*(3-1/x)
因为3=1/(2x)+1/(2x)+(3-1/x)≥3(3次根号下1/(4x)^2*(3-1/x)
(当且仅当1/(2x)=3-1/x,x=3/8时取等号）
得：1/x^2*(3-1/x)≤4, 即1/x^2*(3-1/x)的最大值是4,故a≥4

当x<0时 a≤3/x^2-1/x^3
因为： 3/x^2是增的，1/x^3是减的，3/x^2-1/x^3是增的
故当x=-1时，3/x^2-1/x^3的最小值是4
故a≤4

综上，只有a=4时才能使f(x)≥0总成立