Question

已知：如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，E是CD上一点（不与C、D重合），连结AE，过点B作BF⊥AE，垂中为F

若DE＝2，求cos∠ABF的值；
设AE＝x, BF=y,
求y关于x的函数解析式，写出自变量x的取值范围；
②问当点E从D运动到C，BF的值在增大还是减小？说明理由。
当三角形AEB为等腰三角形时，求BF的长。
要具体过程

Answer 1

图呢？

Answer 2

解：（1）在Rt△AD中，AD=3，DE=2,AE=√13
∴cos∠EAD=(3√13)/13
∵∠BAF=∠AED，∠ADE=∠BFA=90 ∴∠ABF=∠EAD
∴ cos∠ABF=cos∠EAD=(3√13)/13
(2)在Rt△ADE与Rt△BFA中
∵∠BAF=∠AED
∴△ADE∽△BFA
∴AD/BF=AE/AB
即3/y=x/5
∴y=15/x(3＜x＜√34)
y随x增大而减小 由于E从D运动到C DE增大 AE也增大 所以BF在减小
(3)当三角形AEB为等腰三角形时
① AE=BE
E为DC的中点 DE＝2.5 AE＝√61/2 BF=（30√61）/61
② AE=AB
AE=5 BF=3
③ BE=AB
CE=4 DE=1 AE=√10 BF=1.5√10