Question

九年级数学题（附图）

如图，已知⊙1（小圆）与⊙2（大圆）相交于点A、B，过点B作CD⊥AB，分别交⊙1和⊙2于C、D，过点B任作一直线分别交⊙1和⊙2于E、F。试证明：
（1）AC、AD分别是⊙1和⊙2的直径；
（2）AE与AF的比值是一个常数。
繁星守望者—均 :为什么∠E+∠F=∠C+∠D=90°？
郁闷O男孩：∠2=∠4 ∠1=∠3为什么？
答题者最好写出理由！

Answer 1

证明：
（1）∵AB⊥CD （已知）
∴∠ABC=∠ABD=90°
∴AC是⊙O1的直径，AD是⊙O2的直径（90°的圆周角所对的弦是直径）

（2）∵弧AB=弧AB
∴∠C=∠E，∠F=∠D (同弧所对的圆周角相等)
∴△AEF∽△ACD （两个角对应相等的两个三角形相似）
∴AE/AF=AC/AD （对应边成比例）
∵AC,AD分别为两个圆的直径
∴AC，AD是常数
∴AE/AF 是常数

Answer 2

(1)∵CD⊥AB于B
∴∠ABC=∠ABD=90°
∴AC是⊙1的直径
同理可得：AD是⊙2的直径

（2）∵∠E与∠C是同弧所对的圆周角
∴∠E=∠C
同理可得：∠D=∠F
∴∠E+∠F=∠C+∠D=90°
∴∠EAF=90°
∴AE²+AF²=EF²
AE/AF=（EF²-AF）/AE

Answer 3

(1)∵CD⊥AB

∴∠ABC=90°，∠ABD=90°

∵B点在⊙1，⊙2上

∴AC、AD分别是⊙1和⊙2的直径

(2)连结CE,DF。

∵∠1=∠2

∵∠2=∠4

∵∠1=∠3

∴∠4=∠3

又∵AC，AF为直径

∴∠AEC=∠ADF

∴△AEC∽△ADF

∴AE：AF=AC：AF

∴AE与AF的比值是一个常数