Question

求教一高一数学题

当0<a<2时,直线li:ax-2y=2a-4与l2:2x+a^2y=2a^2+4和两坐标轴围成一个四边形,问x取何值时，这个四边形面积最小？并求这个最小值

Answer 1

l1：y=ax/2+2-a
l2：y=-2x/a^2+2+4/a^2
两直线都过（2，2）点
且l1交y轴于正半轴（0，2-a）点，l2交x轴于正半轴（2+4/a^2）点
面积=（2-a）*2/2+（2+4/a^2）*2/2=4+4/a^2-a
设f（x）=4+4/a^2-a
该函数在0到2上是单调递减的
所以当x无限接近于2时面积最小=3

Answer 2

l1与l2的交点是M(2,4)
l1的斜率>0, l2的斜率<0
l2与x轴的交点是A(a^2+2, 0)，与y轴的交点是（0, 2+4/a^2)
l1与y轴的交点是B(0,2-a),与x轴的交点是(a-2,0)
故所求四边形是OAMB
面积＝S(OAM)+S(OBM)
=1/2*(a^2+2)*4+1/2(2-a)*2
=2a^2-a+6
=2(a-1/4)^2+47/8
故最小值是47/8

方法是这样，你再仔细核对一下

Answer 3

显然，两直线交于定点（2，2）。直线ax-2y=2a-4与y轴的交点为（0，2-a).直线2x+a^2y=2a^2+4与x轴的交点为（a^2+2,0).故四边形的四个顶点坐标分别是（0，0），（a^2+2,0),(2,2),(0,2-a).应用割补可求得四边形的面积为S=a^2-a+4=(a-1/2)^2+15/4.因0<a<2,故当a=1/2时，Smin=15/4.