Question

关于对数函数的问题

当X∈R时函数Y=F(X）满足：F(2002+X)+F(2004+X)=F(2003+X),且F(1)=㏒10（3/2），F(2)=㏒10（15），则F(2007)=？
主要是不会从F(2002+X)+F(2004+X)=F(2003+X）中获得一个周期函数表达式，求大虾教我！！~~~~~~~

Answer 1

由已知：
F(2002+X)+F(2004+X)=F(2003+X),
令2003+X=Y，则该方程可变形为：
F(Y-1)+F(Y+1)=F(Y),
再令Y-1=t,方程可变形为：
F(t)+F(t+2)=F(t+1),（1式）
把这个式子里面的t换成t-1，则t+2应该换成t+1，t+1应该换成t，
则（1式）可变换成：
F(t-1)+F(t+1)=F(t),（2式）
(1)式+（2）式，并消去等式两边相同的项，我们得到：
F(t-1)+F(t+2)=0，
即F(t-1)=-F(t+2)，
再令t-1=s，可变形为：
F(s)=-F(s+3)，（3式）
再把s用s+3代入上式，得：
F(s+3)=-F(s+6)，（4式）
联立（3式）和（4式），可以得到：
F(s)=F(s+6)，
这就是你要求的关键的周期函数表达式，
每隔6个数，函数值就重复一次，
所以F(2007)=F(334×6+3)=F(3),
只需要求出F(3)即可。
而我们在前面的（2式）中令t=2，有：
F(1)+F(3)=F(2)，
故F(3)=㏒10（15）- ㏒10（3/2）=1.
从而F(2007)=F(3)=1.
请加我为正确答案，因为我准确、快速、负责，谢谢了！！！