Question

排列组合问题里什么时候会用到隔板法？请举例说明

如题。。。

PS. 比如说20个相同的小球放在号码为1，2，3的三个盒子里，使每个盒子里的小球数不小于盒子上的数字，有多少种可能？

Answer 1

隔板法要求是把没有区别的几个“球”分成有序的几堆。
由于“球”没区别，所以各堆之间只能体现数目，无法体现是哪个球。其方法有二。
1、不允许有空堆。
例：x+y+z=10的正整数解。
9个空中放两个板成为三份。
2、允许有空堆。
例：x+y+z=10的非负整数解。
10个“球”和两个板占的12个位置中找两个 位置放板即可。
你的问题中，先去掉1+2+3=6个球，就是说，先在三个盒子里各放上要求的最少球数，所以另外要放的球的数为x,y,z，则x+y+z=14，求它的非负整数解的个数，用第2类方法。

Answer 2

120种 先在第2 3盒子里分别放1和2个球
剩下17个球 隔板法就是在剩下的17个球中插入2块挡板 使其分成3堆
所以是16个空中放两块挡板 16C2=120 种

实际上隔板法就是解X1+X2+...+Xn=M 的正整数解的组数的一种方法

Answer 3

应用隔板法必须满足三个条件：
（1） 这n个元素必须互不相异
（2） 所分成的每一组至少分得一个元素
(3） 分成的组别彼此相异
组合不排列的情况可以用隔板法