Question

在rt三角形abc中,角C=90度,AC=4cm,BC=3cm

点P由点B出发,沿BA方向向点A匀速运动,速度为1cm/s,点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动,速度2cm/s,连接PQ,若运动时间为t(s)(0<t<2),解答下列问题:
1)当t为何值时,PQ//BC?
2)设三角形AQP的面积为y求y与t的函数关系式;
3)是否存在某一时刻t,使线段PQ恰好把Rt三角形ACB的周长和面积同时平分?
4)连接PC,并把三角形PQC沿CQ翻折,得到四边形PQP'C,那么是否存在某一时刻,使四边形PQP'C为菱形?求此时菱形的边长

Answer 1

解：
(1)PQ//BC得到AQ/AC=AP/AB,很容易算得AB=5(勾股定理(4^2+3^2)^(1/2)=5)
AQ=2t，AP=5-t。得，2t/4=(5-t)/5解得t=10/7
(2)因为三角形的面积AQP=1/2sinA*AQ*AP.sinA=3/5
所以Saqp=1/2*（3/5）*2t*（5-t）=-0.6t^2+3t即Saqp=-0.6t^2+3t)(0<t<2)

(3)Rt三角形ACB的周长=3+4+5=12，Rt三角形ACB的面积=（1/2）*3*4=6，
PQ恰好把Rt三角形ACB的周长平分。
即有AP+AQ=12/2=6，即2t+5-t=6得t=1，
PQ恰好把Rt三角形ACB的面积平分，
即有Sapq=（1/2）*6=3
即=-0.6t^2+3t=3，显然，代入t=1等式不成立，
所以不存在某一时刻t,使线段PQ恰好把Rt三角形ACB的周长和面积同时平分
(4)由题意可以知道，四边形PQP'C为菱形，那么PC=PQ,
因为 PC=（PB^2+CB^2-2*PB*CB*cosB）^(1/2),由图知道cosB=0.6，
=（t^2+3^2-2*t*3*0.6）^(1/2)
PQ=（AP^2+AQ^2-2*AP*AQ*cosA）^(1/2),由图知道cosA=0.8
=[(5-t）^2+(2t)^2-2*(5-t)*2t*0.8）^(1/2),
PC=PQ，
则（t^2+3^2-2*t*3*0.6）^(1/2)=[(5-t）^2+(2t)^2-2*(5-t)*2t*0.8）^(1/2),
即
（t^2+3^2-2*t*3*0.6）=[(5-t）^2+(2t)^2-2*(5-t)*2t*0.8）>0
解得移项后得7.2t^2-22.4t+16=0解得t=2（因为0<t<2舍去）or t=1.11111
代入t=1.11111入PC=（t^2+3^2-2*t*3*0.6）^(1/2)=2.4969约为2.5

Answer 2

1)当t为何值时,PQ//BC?
先用勾股定理求出AB=5,经过t秒时PB=t,AP=5-t, AQ=2t
当PQ//BC时，AP/AB=AQ/AC,
∴(5-t)/5=2t/4, 解得t=10/7

Answer 3

第一问t=10/7第二问y=3t-（3t^2）/5第三问t=(5-￡5)/2第四问边长平方等（5-13/5t）^2+（6t/5）^2解就可求值.本题利用相似和勾股定理辐助线过Q向AB边做高注意￡指根号具体详细请问WQQ595285275

Answer 4

解：
(1)PQ//BC得到AQ/AC=AP/AB,很容易算得AB=5(勾股定理(4^2+3^2)^(1/2)=5)
AQ=2t，AP=5-t。得，2t/4=(5-t)/5解得t=10/7
(2)因为三角形的面积AQP=1/2sinA*AQ*AP.sinA=3/5
所以Saqp=1/2*（3/5）*2t*（5-t）=-0.6t^2+3t即Saqp=-0.6t^2+3t)(0<t<2)
(3)Rt三角形ACB的周长=3+4+5=12，Rt三角形ACB的面积=（1/2）*3*4=6，
PQ恰好把Rt三角形ACB的周长平分。
即有AP+AQ=12/2=6，即2t+5-t=6得t=1，
PQ恰好把Rt三角形ACB的面积平分，
即有Sapq=（1/2）*6=3
即=-0.6t^2+3t=3，显然，代入t=1等式不成立，
所以不存在某一时刻t,使线段PQ恰好把Rt三角形ACB的周长和面积同时平分
(4)由题意可以知道，四边形PQP'C为菱形，那么PC=PQ,
因为
PC=（PB^2+CB^2-2*PB*CB*cosB）^(1/2),由图知道cosB=0.6，
=（t^2+3^2-2*t*3*0.6）^(1/2)
PQ=（AP^2+AQ^2-2*AP*AQ*cosA）^(1/2),由图知道cosA=0.8
=[(5-t）^2+(2t)^2-2*(5-t)*2t*0.8）^(1/2),
PC=PQ，
则（t^2+3^2-2*t*3*0.6）^(1/2)=[(5-t）^2+(2t)^2-2*(5-t)*2t*0.8）^(1/2),
即
（t^2+3^2-2*t*3*0.6）=[(5-t）^2+(2t)^2-2*(5-t)*2t*0.8）>0
解得移项后得7.2t^2-22.4t+16=0解得t=2（因为0<t<2舍去）or
t=1.11111
代入t=1.11111入PC=（t^2+3^2-2*t*3*0.6）^(1/2)=2.4969约为2.5