Question

四年级下册数学期中考试(北师大版)

Answer 1

第六章 功和能
[考点解读]

知识内容 要求 说明
27、功、功率
28、动能、做功与动能改变的关系
29、重力势能、重力做功与重力势能改变的关系
30、弹性势能
31、机械能守恒定律 Ⅱ
Ⅱ
Ⅱ
Ⅱ
Ⅰ

[知识网络]

[解题方法指导]

[例1]汽车以额定功率从静止开始行驶时，一定是 [ ]
A．速度变大，加速度也变大 B．速度变小，加速度也变小
C．速度变大，而加速度变小 D．速度最大时，牵引力一定也最大

[分析] 当汽车的功率恒定时，由公式P=Fv可知，随着运动速度的

减小．当加速度减小到零时，汽车的速度达最大值．此时的牵引力应是最小．
[答] C．

[说明 ] 不少学生受生活直觉的影响，还常被笼罩在亚里士多德关于力与运动关系错误观点的阴影里，总是把力与运动（速度）直接联系起来，认为汽车开得快时牵引力大，开得慢时牵引力小．应该注意：这里的基本点是功率恒定，力与运动速度必须受它的制约．

[例2] 汽车以速率v1沿一斜坡向上匀速行驶，若保持发动机功率不变，沿此斜坡向下匀速行驶的速率为v2，则汽车以同样大小的功率在水平路面上行驶时的最大速率为（设三情况下汽车所受的阻力相同） [ ]

[分析] 设汽车的质量为m，斜坡倾角为α，汽车沿斜坡匀速向上和匀速向下时的牵引力分别为F1、F2，阻力大小为f，根据力平衡条件和功率公式可知

联立两式，得所受阻力的大小

代入①式或②式，得发动机的功率

若汽车沿水平路面行驶，达最大车速时牵引力等于阻力，
即

[答] C．

[例3] 质量m=5t的汽车从静止出发，以a=1m／s2的加速度沿水平直路作匀加速运动，汽车所受的阻力等于车重的0.06倍，求汽车在10s内的平均功率和10s末的瞬时功率．取g=10m／s2．

[分析] 汽车在水平方向受到两个力：牵引力F和阻力f．根据牛顿第二定律算出牵引力，结合运动学公式算出10s内的位移和10s末的速度即可求解．

[解答] 设汽车的牵引力为F，阻力f=kmg=0.06mg．由牛顿第二定律
F-f=ma，
得 F=m（0.06g+a）=5×103（0.06×10+1）N
=8×103N．
汽车在t=10s内的位移和10s末的速度分别为

vt=at=1×10m／s=10m／s
所以汽车在10s内的平均功率和10s末的功率分别为

Pt=Fvt=8×103×10W=8×104W．
[说明] 题中汽车作匀加速运动，因此10s内的平均功率也可用

由此可见，在匀变速运动中，某段时间内的平均功率等于这段时间始末两时刻瞬时功率的平均．即

[讨论]
汽车、火车或轮船等交通工具，在恒定的功率下起动，都是作变加速运动．这个过程中牵引力F与运动速度v的制约关系如下：

所以，最大的运动速度就是作匀速运动时的速度．
课本中的例题要求轮船的最大航行速度，就是在F=f时匀速航行的速度．
[例题4] 用力将重物竖直提起，先是从静止开始匀加速上升，紧接着匀速上升，如
果前后两过程的时间相同，不计空气阻力，则[ ]
A．加速过程中拉力的功一定比匀速过程中拉力的功大
B．匀速过程中拉力的功比加速过程中拉力的功大
C．两过程中拉力的功一样大
D．上述三种情况都有可能

[思路点拨] 因重物在竖直方向上仅受两个力作用：重力mg、拉力F．这两个力的相互关系决定了物体在竖直方向上的运动状态．设匀加速提升重物时拉力为F1，重物加速度为a，由牛顿第二定律F1－mg=ma，

匀速提升重物时，设拉力为F2，由平衡条件有F2=mg，匀速直线运动的位移S2=v·t=at2．拉力F2所做的功W2=F2·S2=mgat2．

[解题过程] 比较上述两种情况下拉力F1、F2分别对物体做功的表达式，不难发现：一切取决于加速度a与重力加速度的关系．

因此选项A、B、C的结论均可能出现．故答案应选D．

[小结] 由恒力功的定义式W=F·S·cosα可知：恒力对物体做功的多少，只取决于力、位移、力和位移间夹角的大小，而跟物体的运动状态(加速、匀速、减速)无关．在一定的条件下，物体做匀加速运动时力对物体所做的功，可以大于、等于或小于物体做匀速直线运动时该力做的功．

[例题5] 质量为M、长为L的长木板，放置在光滑的水平面上，长木板最右端放置一质量为m的小物块，如图8－1所示．现在长木板右端加一水平恒力F，使长木板从小物块底下抽出，小物块与长木板摩擦因数为μ，求把长木板抽出来所做的功．

[思路点拨] 此题为相关联的两物体存在相对运动，进而求功的问题．小物块与长木板是靠一对滑动摩擦力联系在一起的．分别隔离选取研究对象，均选地面为参照系，应用牛顿第二定律及运动学知识，求出木板对地的位移，再根据恒力功的定义式求恒力F的功．
[解题过程] 由F=ma得m与M的各自对地的加速度分别为

设抽出木板所用的时间为t，则m与M在时间t内的位移分别为

 
所以把长木板从小物块底下抽出来所做的功为

[小结] 解决此类问题的关键在于深入分析的基础上，头脑中建立一幅清晰的动态的物理图景，为此要认真画好草图(如图8－2)．在木板与木块发生相对运动的过程中，作用于木块上的滑动摩擦力f为动力，作用于木板上的滑动摩擦力f′为阻力，由于相对运动造成木板的位移恰等于物块在木板左端离开木板时的位移Sm与木板长度L之和，而它们各自的匀加速运动均在相同时间t内完成，再根据恒力功的定义式求出最后结果．

[例题6] 如图8－3所示，用恒力F通过光滑的定滑轮，将静止于水平面上的物体从位置A拉到位置B，物体可视为质点，定滑轮距水平面高为h，物体在位置A、B时，细绳与水平面的夹角分别为α和β，求绳的拉力F对物体做的功．

[思路点拨] 从题设的条件看，作用于物体上的绳的拉力T，大小与外力F相等，但物体从A运动至B的过程中，拉力T的方向与水平面的夹角由α变为β，显然拉力T为变力．此时恒力功定义式W=F·S·cosα就不适用了．如何化求变力功转而求恒力功就成为解题的关键．由于绳拉物体的变力T对物体所做的功与恒力F拉绳做的功相等，根据力对空间积累效应的等效替代便可求出绳的拉力对物体做的功．

[解题过程] 设物体在位置A时，滑轮左侧绳长为l1，当物体被绳拉至位置B时，绳长变为l2，因此物体由A到B，绳长的变化量

又因T=F，则绳的拉力T对物体做的功

[小结] 如何由求变力功转化为求恒力功，即实现由变到不变的转化，本题采用了等效法，即将恒定拉力F作用点的位移与拉力F的乘积替代绳的拉力对物体做功．这种解题的思路和方法应予以高度重视．

[例题7] 汽车发动机的功率为60 kW，汽车的质量为4 t，当它行驶在坡度为0.02的长直公路上时，如图8－4，所受阻力为车重的0.1倍(g＝10 m/s2)，求：

(1)汽车所能达到的最大速度vm=？
(2)若汽车从静止开始以0.6 m/s2的加速度做匀加速直线运动，则此过程能维持多长时间？
(3)当汽车匀加速行驶的速度达到最大值时，汽车做功多少？
(4)在10 s末汽车的即时功率为多大？

[思路点拨] 由P=F·v可知，汽车在额定功率下行驶，牵引力与速度成反比．当汽车的牵引力与阻力(包括爬坡时克服下滑力)相等时，速度达最大．只有当汽车牵引力不变时，汽车才能匀加速行驶，当F·v=P额时，匀加速运动即告结束，可由W=F·S求出这一阶段汽车做的功．当10 s末时，若汽车仍在匀加速运动，即可由Pt=F·vt求发动机的即时功率．

[解题过程]
(1) 汽车在坡路上行驶，所受阻力由两部分构成，即
f＝Kmg＋mgsinα=4000＋800=4800 N．
又因为F＝f时，P=f·vm，所以