Question

有悬赏：若tan（α+β）=3tanα，求证：2sin2β-sin2α=sin（2α+2β），要对的过程！谢谢

若tan（α+β）=3tanα，求证：2sin2β-sin2α=sin（2α+2β）

Answer 1

证： ∵sin(α+β)/cos(α+β)=3sinα/cosα,
sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα=2cos(α+β)sinα
∴sin(α+β-β)=2cosαcosβsinα-2sinαsinβsinα
则sinβ(1+2sin²α)=sin2αcosβ
两边同乘2cosβ,得
sin2β(1+2sin²α)=2sin2αcos²β
注意到1+2sin²α=2-cos2α
则2sin2β-sin2βcos2α=2sin2αcos²β
又cos²β=2/1+cos2β
∴2sin2β-sin2βcos2α=sin2α-sin2αcos2β
∴2sin2β-sin2α=sin2βcos2α+sin2αcos2β=sin(2β+2α)
证毕.

Answer 2

2sin2b-sin2a=sin2(a+b)
4sinbcosb-2sinacosa=2sin（a+b）cos（a+b）
2sinbcosb-sinacosa=（sinacosb+cosasinb）*（cosacosb-sinasinb）
2sinbcosb-sinacosa=sinacosa(cosb)^2-sinbcosb(sina)^2
+sinbcosb(cosa)^2-sinacosa(sinb)^2
sinbcosb(2+(sina)^2-(cosa)^2)=sinacosa(1+(cosb)^2-(sinb)^2)
sinbcosb(3(sina)^2+(cosa)^2)=sinacosa*2(cosb)^2
把a和b置于等式两端
sinbcosb/(cosb)^2=2sinacosa/3(sina)^2+(cosa)^2
化简，右边分子分母同除以（cosa）^2
tanb=2tana/3(tana)^2+1
tanb*(3(tana)^2+1)=2tana
3(tana)^2*tanb+tanb=2tana
tanb=2tana-3(tana)^2*tanb
等式两边同加上tana
tana+tanb=3tana-3(tana)^2*tanb=3tana(1-tanatanb)
3tana=(tana+tanb)/(1-tanatanb)=tan(a+b)
原式得证 (a=α,b=β)

Answer 3

放心，高考不会考的。但是如果是准备竞赛的话还是自己好好想想吧！