Question

初中数学，高分，急急急，吐血~！！！！！！！

已知开口向上的抛物线y=ax^+bx+c，与x轴交于点A（-3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于C点，顶点为D，△BCD中CD边上的高H，△ABC的重心为G.
（2）当∠ACB不小于90°时，①判断OC=1\2AB是否成立？并说明理由.
②求h的最大值.
（3）当∠ACB不大于90°时，记△AGB的面积为S，求h/s的最大值.

Answer 1

设抛物线：y=a(x+3)(x-1)=ax^2+2ax-3a,a>0
则C(0,-3a),D(-1,-4a),G(-2/3,-a)

(2)角ACB不小于90°，所以OC^2<=OA*OB,即a^2<=1/3,0<a<=(根号3)/3
OC=3a<=根号3<2=AB/2所以不成立
直线CD：ax-y-3a=0,B到CD的距离h就是2a/根号(a^2+1)=2根号[1-1/(a^2+1)],随着a的增加而增加，所以h最大值=1
(3)角ACB不大于90°，所以a>=(根号3)/3,S三角形AGB=AB*高/2=4*a/2=2a
h/s=1/根号(a^2+1)随着a^2得增大而减小，所以h/s的最大值=(根号3)/2

Answer 2

设抛物线：y=a(x+3)(x-1)=ax^2+2ax-3a,a>0
与Y轴交点C坐标X=0代入求得Y=-3a,所以C(0,-3a),顶点D坐标公式(-b/2a,4ac-b^2/4a)代入可得D(-1,-4a),重心为三角形三条中线的交点G坐标公式(X1+X2+X3/3,Y1+Y2+Y3/3)(可用定比分点公式求证) 代入A,B,C坐标可求的G((-2/3,-a),以上是准备工作!
2)牵扯到△ACB中∠ACB与90°关系,况且是看OC与AB的一般大小可以联想考虑摄影定律,若∠C=90°OC为AB边上的高,则OC^2=OA*OB,若∠C大于等于90°OC为AB边上的高,则OC^2小于等于OA*OB此时可见建立不等式(-3a)^2<=3*1,即0<a<=根号3/3(取正),所以0<OC<根号3<1\2AB=2,
3)当∠ACB不大于90°可得a>=(根号3)/3,此时要求出点B到直线CD的距离h,直线CD:ax-y-3a=0,这里可以利用公式求的h=2a/根号[a^+1],△AGB面积s=AB*高/2=4*a/2=2a ,所以h/s=1/[a^+1]随a增大而减小,所以当a取最小值(根号3)/3时,h/s有最大值=(根号3)/2
PS:问题其实不难,具体计算要小心处理,坐标别弄错,公式定义可在网上查找.关键点是摄影定理的理解以及重心坐标,点到直线距离的掌握!

Answer 3

y=a(x+3)(x-1)=ax^2+2ax-3a,a>0
则C(0,-3a),D(-1,-4a),G(-2/3,-a)