Question

高数极限及连续性问题！高分悬赏！

设f(x)在x=0连续，如下命题错误的是？A.若lim(x->0)f(x)/x存在，则f(0)=0
我这个问题主要针对A，其他选项未列出！正解A正确的。我有个疑问是，因为我对逻辑关系搞的不是特别清楚，所以希望能从基本的逻辑关系给我讲起，还有就是以这个特殊题目给我讲讲一般数学题出题时的逻辑关系，例如什么设什么的，存在什么的，我都搞不懂深层含义，致使解题很混沌！
再次回到那个问题，正解中说因为分子趋向于0，所以分子也必须趋向于0，那是不是说如果分子趋向于0的话，即f(x)->0，有连续性得之f(0)=0,可得结论，但我有一点不明白，针对这个极限如果不是0/0型，就按分子趋向于0，这个极限就是无穷，是不是说无穷就是不存在，所以分母也得趋向0？因为之前学到过极限无穷和不存在意思是不一样的！
上述有点问题 是分母和分子，我都打成分子了！

Answer 1

无穷是不存在，因为存在就是能找到确定，一旦是无穷了，就不确定了，要好大就有好大

对于这个问题并不难。如果lim(x->0)f(x)/x存在，首先分母在x->0 时，是->0的，如果分子此时不趋于0，导致一个数除以0 ，明显不存在极限。故只有分子也趋于0。注意，这个时候只有一个结论就是当x趋于0是，分子f（x）也趋于0，并没有表明f（0）=0。但是，f(x)在x=0这点连续，即是lim(x->0)f(x)=f（0）这个是连续的定义。于是才有f（0）=0

Answer 2

才给5分还叫高分?T T!
谁回答你谁就是猪!

Answer 3

这也不是说无穷就是不存在，只是在求连续函数值时，我们一般求解有限值，
对于无穷，当极限不存在考虑

Answer 4

为什么要这样解释呢？用极限的运算法则不更简单吗？

f(x)＝f(x)/x * x，当x→0时，f(x)/x的极限是0，x的极限是0，所以，f(x)的极限是0. 又f(x)在x＝0处连续，所以f(x)的极限值等于f(0)，所以f(0)＝0