Question

如何证明(1+1/n)^n 当n趋向无穷大时，极限存在

我看到书上说这用到一个原则即单调的有界函数存在极限
但却没有证明过程希望有数学高手帮助解答谢谢
考虑到本人的领悟能力希望过程详细

Answer 1

首先需要二项式定理：

（a+b）^n=∑ C（i=0 –> i=n）n i a^(n-i) * b^i （式一）

用数学归纳法证此定理：
n=1 (a+b)^1 a^(1-0)*b^0+a^(1-1)*b^1
 a+b
 故此，n=1时，式一成立。

设n1为任一自然数，假设n=n1时，（式一）成立 ，即：

（a+b）^n1=∑ C（i=0 –> i=n1）n1 i a^(n1-i) * b^i （式二）

则，当n=n1+1时:

式二两端同乘（a+b）

[（a+b）^n1]*(a+b)=[∑ C（i=0 –> i=n1）n1 i a^(n1-i) * b^i]*(a+b)

=> (a+b)^(n1+1)= ∑ C（i=0 –> i=(n1+1)）(n1+1) i a^((n1+1)-i) * b^i ( 据乘法分配律)

因此二项式定理（即式一成立）

下面用二项式定理计算这一极限：

（1+1/n）^n （式一）

用二项式展开得：

（1+1/n）^n = 1^n+(n/1)(1/n)+[(n(n-1))/(2*1)]*(1/n)^2+[(n(n-1)(n-2))/(3*2*1)]*(1/n)^3 + … +[(n(n-1)(n-2) …3)/((n-2)(n-1) … 2*1)]*(1/n)^(n-2)+ [(n(n-1)(n-2) …3*2)/((n-1)(n-2)(n-1) … 2*1)]*(1/n)^(n-1)+ [(n(n-1)(n-2) …3*2*1)/(n(n-1)(n-2)(n-1) … 2*1)]*(1/n)^n

由于二项展开式系数项的分子乘积的最高次项与（1/n）的次数相同，而系数为1，因此，最高次项与（1/n）的相应次方刚好相约，得1，低次项与1/n的相应次方相约后，分子剩下常数，而分母总余下n的若干次方，当n -> +∞,得0。因此总的结果是当n -> +∞，二项展开式系数项的各项分子乘积与（1/n）的相应项的次方相约，得1。余下分母。于是式一化为：

（1+1/n）^n =1+1+1/2！+1/3！+1/4！+1/5！+1/6！+ … + 1/n！ （式二）

当n -> +∞时，你可以用计算机，或笔计算此值。这一数值定义为e。

补充：

将式二和公比为1/2的等比数列比较，其每一项都小于此等比数列，而此等比数列收敛，因此，式二必定收敛于一固定数值。