Question

请教两个问题，数学高手请进（最多可追加20分）

1.给我讲讲范德蒙行列式
2.斐波那契数列可以求和吗？

Answer 1

|1 1 1 ........... 1 |
|a1 a2 a3 ............ an |
|a1^2 a2^2 a3^a .......... an^2|
|. . . . | = d
|. . . . |
|. . . . |
|a1^(n-1) a2^(n-1) a3^(n-1) ... an^(n-1)|

这样的行列式就是范德蒙德行列式，其结果为: II(ai-aj)
1<=j<i<=n
(‘<=’指小于等于，‘II’指连乘）

还有，范德蒙德行列式为零的充分必要条件是a1,a2,a3...an这n个数中至少有两个相等．

设斐波那契数列的通项为An。
（事实上An = (p^n - q^n)/√5，其中p = (√5 - 1)/2, q = (√5 + 1)/2。但这里不必解它）

然后记
Sn = A1 + A2 + ... + An
由于
An = Sn - S(n-1) = A(n-1) + A(n-2) = S(n-1) - S(n-2) + S(n-2) - S(n-3)
= S(n-1) - S(n-3)
其中初值为S1 = 1, S2 = 2, S3 = 4。

所以
Sn - 2S(n-1) + S(n-3) = 0
从而其特征方程是
x^3 - 2x^2 + 1 = 0
即
(x - 1)(x^2 - x - 1) = 0
不难解这个三次方程得
x1 = 1
x2 = p
x3 = q
（p, q值同An中的p, q）。
所以通解是
Sn = c1 * x1^n + c2 * x2^n + c3 * x3^n
其中c1，c2，c3的值由S1，S2，S3的三个初值代入上式确定。我就不算了