Question

数学正方形证明题

一个四边形绕其对角线的交点O旋转90°，如果所得的四边形与原来的四边形重合，那么这个四边形是正方形。
麻烦各位帮帮忙，应该怎么证明？

Answer 1

证明：如图：旋转90°后重合，则只能是相邻定点重合了，如旋转后A'和B重合。这时要重合必有OA=OB=OC=OD,否则绕着O点转90度后是不可能重合的。由 

OA=OB=OC=OD知道四边形ABCD是矩形。有因为旋转角度是90°，故有 

角AOB=角BOC=角COD=角DOA=90°。则四边形ABCD又是菱形。即是矩形又是菱形的四边形当然是正方形了！！

Answer 2

1:
证明：因为四边形ABCD是正方形
所以BC=CD，∠BCD=∠DCF=90
又因为CE=CF
所以三角形BCE≌三角形DCF（SAS）
2：
因为三角形BCE≌三角形DCF（SAS）
所以∠BEC=∠F，∠CBE=∠CDF
因为∠CEB=∠DEG（对顶角相等）
所以∠CDF+∠DEG=90
所以∠BGD=90
又因为BG平分∠DBF
∠DBG=∠FBG
又因为BG=GB
所以三角形BDG≌三角形BFG（ASA）
所以DB=BF
因为O是BD的中点
所以OG=BD/2
所以OG=BF/2
3：
不会

Answer 3

过点D向AB做垂线交AB于G,已知角CAB,角ABC的平分线相交于点D，DE垂直BC于点E，DF垂直AC于点F，
所以DE=DF=DG,所以四边形CFDE是正方形

Answer 4

证：（1）∵三角形的内
角平分线
交于一点
∴CD也为∠C的角平分线
∵DF⊥AC
DE⊥BC
∴
DF=DE
（角平分线上的点到角两边的距离相等）
（2）∵∠C=90度，DF⊥AC
DE⊥BC
∴
四边形DECF为矩形
∴四边形DECF为正方形（一组临边相等的矩形是正方形）

Answer 5

当CF=1/4a时，AE平分∠DAF
证明：
延长AE，交BC的延长线于点G
易证△ADE≌△GCF
∴AD=CG
若AE平分∠DAF
可得AF=FG
设FC=x
则AF=FG=a+x，BF=x，AB=a
∴(a+x)²=a²+(a-x)²
解得x=1/4a
∴当CF=1/4a时，AE平分∠DAF