Question

帮忙解一道数学题，谢谢！

设x和y是正无理数，且1/x+1/y=1
求证[x],[2x],[3x],……,[nx]……
和[y],[2y],[3y],……,[ny]……
合起来恰好不重复的构成正整数集

Answer 1

因为x>0,y>0,1/x+1/y=1
所以显然x>1,y>1
所以[(n+1)x]=[nx+n]>=[nx]+[x]>=[nx]+1>[nx]
所以这两个数列是严格上升的

假设这两个数列有重复的数
则存在两个正整数a和b
使得m=[ax]=[by]
因为x和y是无理数
所以m<ax<m+1
m<by<m+1
所以m=m*1=m(1/x+1/y)=m/x+m/y<a+b<(m+1)x+(m+1)/y=m+1
即m<a+b<m+1
m,a,b都是正整数，显然不成立
所以没有重复的数

假设一个正整数p在两个数列中都不出现
则也有a和b使得
ax<p<p+1<(a+1)x
by<p<p+1<(b+1)y
所以a/p+b/p<1/x+1/y=1<(a+1)/(p+1)+(b+1)/(p+1)
所以a+b<p<p+1<a+b+2
因为a+b和a+b+2之间只有一个正整数，而p和p+1都是正整数
所以也不成立

所以两个数列合起来恰好不重复的构成正整数集

Answer 2

设x和y是正无理数，且1/x+1/y=1
求证[x],[2x],[3x],……,[nx]……
和[y],[2y],[3y],……,[ny]……
合起来恰好不重复的构成正整数集。
证明 首先证明[x+y]≥[x]+[y],设x=[x]+a, y=[y]+b,其中a,b分别是x,y的小数部分，小于1，故[x+y]=[[x]+a+[y]+b]=[[x]+[y]+a+b]≥[x]+[y]
由x>0,y>0,1/x+1/y=1,故1/x<1，1/y<1,x>1,y>1，
[(n+1)x]=[nx+x]≥[nx]+[x]≥[nx]+1>[nx]
于是数列[nx],[ny]均是严格递增的，
如果有正整数n没有出现在这两个数列中，则必存在a和b使得
ax<n<(a+1)x,由于[(a+1)x]不等于n，则n<[(a+1)x],必有n+1≤[(a+1)x]
即ax<n<n+1<(a+1)x,同理by<n<n+1<(b+1)y,
故a/n<1/x<(a+1)/(n+1), b/n<1/y<(b+1)/(n+1),
a/n+b/n<1/x+1/y<(a+1)/(n+1)+(b+1)/(n+1),
a/n+b/n<1<(a+1)/(n+1)+(b+1)/(n+1), a+b<n,n+1<(a+1)+(b+1)=a+b+2,
a+b,a+b+2之间不可能存在两个正整数n,n+1，故正整数n不出现在这两个数列不成立。
如果这两个数列[nx],[ny]有重复的数出现，则存在两个正整数a和b 使得n=[ax]=[by]
由x和y是无理数，则n<ax<n+1,n<by<n+1,n/x<a,n/y<b,a<(n+1)/x,b<(n+1)/y
故n=n(1/x+1/y)=n/x+n/y<a+b<(n+1)/x+(n+1)/y=n+1,即n<a+b<n+1,n,a,b均是正整数，矛盾，故没有重复的数，所以两个数列合起来恰好不重复的构成正整数集

Answer 3

x>1,y>1
所以[(n+1)x]=[nx+n]>=[nx]+[x]>=[nx]+1>[nx]
所以这两个数列是严格上升的

假设这两个数列有重复的数
则存在两个正整数a和b
使得m=[ax]=[by]
因为x和y是无理数
所以m<ax<m+1
m<by<m+1
所以m=m*1=m(1/x+1/y)=m/x+m/y<a+b<(m+1)x+(m+1)/y=m+1
即m<a+b<m+1
m,a,b都是正整数，显然不成立
所以没有重复的数

假设一个正整数p在两个数列中都不出现
则也有a和b使得
ax<p<p+1<(a+1)x
by<p<p+1<(b+1)y
所以a/p+b/p<1/x+1/y=1<(a+1)/(p+1)+(b+1)/(p+1)
所以a+b<p<p+1<a+b+2
因为a+b和a+b+2之间只有一个正整数，而p和p+1都是正整数
所以也不成立

所以两个数列合起来恰好不重复的构成正整数集

Answer 4

x>0,y>0,1/x+1/y=1.x>1,y>1
[(n+1)x]=[nx+n]>=[nx]+[x]>=[nx]+1>[nx]
m=[ax]=[by]
m<by<m+1
m=m*1=m(1/x+1/y)=m/x+m/y<a+b<(m+1)x+(m+1)/y=m+1
m<a+b<m+1
ax<p<p+1<(a+1)x
by<p<p+1<(b+1)y
所以a/p+b/p<1/x+1/y=1<(a+1)/(p+1)+(b+1)/(p+1)
所以a+b<p<p+1<a+b+2
因为a+b和a+b+2之间只有一个正整数，而p和p+1都是正整数
所以也不成立所以两个数列合起来恰好不重复的构成正整数集

（应该对，好长时间不做题了）

Answer 5

有什么地方弄错了
，x，y是无理数
那么nx，my都是无理数不可能是什么所谓的正整数

Answer 6

这个题明显就是错的嘛。
既然x,y都是无理数，【nx】如果是正整数，假设nx=m(m是正整数），那么
x=1/mn,分数都是有理数与题设x是无理数矛盾。
那【nx】就是无理数，反过来所有的数都是无理数怎么构成正整数集？