Question

一变态数学题，纯娱乐

将一15*15的五子棋棋盘填满（黑方先行，双方不分胜负），有多少种填法？
回答有解题思路
这道题我会等到结束那一天，纯娱乐。有想法的都可以回复
问：如果棋盘旋转后重合算么？
答：不考虑旋转。
问：……还是连不同的落子顺序也一起算上？
答：不考虑顺序

Answer 1

注：“[]”内为思路 注解 一类的东西
<I>首先考虑会有多少种五子相连的情况
可以将每一种五子相连看作是由其左上位置的格决定的（横连时为最左端的那个 竖连为最上端的那个 斜连为左上的那个）——[为使数的时候不重复 所以要保证一种五子相连方式只由一个格决定 此时只需确定各格决定的相连方式的数目即可得出相连方式的总数 下开始分每格决定的相连方式的多少进行讨论 计数]
所以 棋盘左上的11*11区域的每个格决定3种五子相连的方式[横竖斜] 共11*11*3=363种
棋盘左下的4*11区域[行数*列数 下同]的每个格决定1种[横] 共4*11*1=44种
棋盘右上的11*4区域的每个格决定1种[列] 共11*4*1=44种
棋盘右下的4*4区域每个格决定0个 共0种
所以 一共有363+44+44+0=431种五子相连的情况
<II>开始计数
[具体思路是先不考虑胜负 先求总数 再减去不符合题意的]
总数=C(255,133)
不合题意的 由容斥原理得出 （式子实在是没法列……太长了>.<） [注意 要考虑同一个格不可以既是黑的又是白的（即 此格不可同时在一个黑五子和一个白五子中]——[我觉得这里肯定应该是由更好的方法的 容斥做起来不是依据麻烦能形容的 要考虑有1个五子连 2个五子连，...，n+1个五子连 不是人干的了 本人水平有限 也只能想到这样的解法了>.<]
——[其实 yasumii 的做法有推广价值 但是他的有错误 此题中黑白子不等价且总个数有特定的要求 所以 需要大范围的讨论 不是他所说的那么简单…… 但楼主可以就着他的思路往下试试 就我个人而言 这种方法不出意外的话可以用到我的这一步来 能够省下一些讨论的步骤]
<III>最后得数
抱歉 计算器摁不出来……
鉴于 你是纯娱乐……我也就不死命算了
不过这题是挺变态……>.<

Answer 2

五子棋有定式 不过我只知道其中一种
我的想法是：
在一个4×4的方格中
其中一种颜色占1-2 2-4 3-1 4-3或1-3 2-1 3-4 4-2
把这样的模式无限延拓整个棋盘 那么就算敌方的棋子布满其他的空格 双方都无法取胜（大家试着排一排）
因此 我的方案是
（1）首先确定黑色棋子定式的排法
15×15中央包含了一个12×12，它分成九个方块（4×4）按照上述的两种模式的其中一种进行排列
其余的三行三列分配在边界 总共的排法是4种
从上方边界开始按顺时针方向 所分配的行或列的数目分别为0-3-3-0 0-1-3-2 0-2-3-1 1-2-2-1
那么黑色棋子定式的排法总共有8种 这样就确定白色无法取胜
（2）然后确定白色棋子定式的排法
显然为了确定黑色无法取胜 白色也需要按定式排列
把黑色棋子的模式分别向八个方向平移一个格子 填充为白色的棋子 则为白色的定式
在黑色已经确定了定式的基础上 白色的定式种类为8种
（3）剩余的空格由双方填补
显然每行15格中每5格就因为双方的定式而占据了2格
因此剩余的空格为15×15×（1-2/5）=135
填补的方法有C(135,67)种
(4)最后黑白双方颜色可以互换 即可以先确定白色定式再确定黑色定式 因此有2种颜色方案

因此总的方法有8×8×2×C(135,67)种
而这只是双方不分胜负的一种基本模式……
求达人指教……

modified（1）
应 达人 --xx西瓜
我的方案中每5个连续的格子中有一黑一白 而棋盘是15×15的
即双方形成定式过程中所下的棋子数相等 我不太明白为什么两者不等价（虽然黑子先下）
而且我想知道我的方案比“大范围的讨论”少了什么…… 谢谢！

Answer 3

不分胜负就是说不能横竖去斜的连续5个。
排列组合不好用了。

个人认为只有N种
比如0是黑子1是白子
010101010101010|
101010101010101|
010101010101010|
101010101010101|
101010101010101|
010101010101010|
…………然后再把黑子和白子交换。
这就2种最基本的。
以上是最基本的2种
101110111011100
000111010111011
111101011001000
000011101011111
…………
这样的乱排。
只要填满就行的方式有无数种。
。。。而且不会5子连一起。
总之只要棋盘有限。就有个具体的数。
到底有度少种方式。
那就是天文数字的计算了。

Answer 4

不考虑棋盘旋转后重合,不考虑落子顺序,所有同色子没有区别,该问题十分简单,实质上是将225格分为两组,一组113格,一组112格.或等价于从225格任选取113格有多少选法.
15*15的五子棋棋盘共有15*15=225格,由黑方先行,填满时共填113黑子,112白子,
225格中选取113个格共有C(225,113)=C(225,112)=225!/(112!*113!)选法,故有225!/(112!*113!)填法.

Answer 5

因为点的个数225是奇数的
所以最后必定是黑棋113子，白棋112子
也就是在225个点上找113个子来放黑子，其余的放白子
共有C(225,113)
因为旋转棋盘之后得到的排列可以认为是相同的,所以实际的填法是0.25*C(225,113)种
上面的过程没有考虑填的顺序，如果考虑填的顺序的话，
就是0.25*A(225,113)*A(225,113)
第一个答案就已经大于10的16次方了
即只考虑112粒白棋放在225个地方就搞定