Question

已知函数f(x)=e的x次方-x (e为自然对数的底数) 求f(x)的最小值

还求 若不等式f(x)>ax的解集为P,如果[0,2]属于P,求实数a的取值范围 急啊!

Answer 1

f(x)=e^x-x
则f'(x)=e^x-1
当f'(x)=0时,x=0;
f''(0)=e^0=1>0,则说明x=0时f(0)=e^0-0=1是极小值;
也是最小值.
最小值是f(0)=1.

令F(x)=f(x)-ax=e^x-(a+1)x.
则F(0)=1;
F'(x)=e^x-(a+1);
则F''(x)=e^x>0,则说明函数始终是凹性的.
e^x-(a+1)>-1-a;
当-1-a≥0时,始终F'(x)≥0.而F(0)=1>0,则在区间[0,2]上始终有F(x)>0;即f(x)>ax成立.此时a≤-1.
当a≥-1时,
使F'(x)=0,则x=ln(a+1).
①当-1<a<0时,0<a+1<1;则x=ln(a+1)<0.而在区间[0,2]上F'(x)=e^x-(a+1)>0.则在区间[0,2]上始终有F(x)>0;即f(x)>ax成立.
②当0≤a<e^2-1时,1≤a+1<e^2;则x=ln(a+1)∈[0,2].即最小值在区间[0,2]上.这时只要满足F(x)的最小值大于零就行了.则F(ln(a+1))>0
(a+1)-(a+1)ln(a+1)>0
ln(a+1)<1.
0<a+1<e
-1<a<e-1
则综合起来得到0≤a<e-1
③当a≥e^2-1时,
a+1≥e^2;则x=ln(a+1)≥2.函数F(x)的最小值在区间[0,2]右侧.则在区间[0,2]上F'(x)=e^x-(a+1)<0.这时要满足F(2)<0
则e^2-2(a+1)<0
a>(e^2/2)-1
则综合起来得到a≥e^2-1

∴实数a的取值范围是:(-∞,e-1)∪[e^2-1,+∞)

Answer 2

由导数e的x次方-1知，x大于0时导数大于0，x小于0时导数小于0，所以x为0时函数有最小值1.不等式f(x)>ax的两边除以x，变量X 与a分离，[0,2]属于P，即x属于[0,2]时不等式恒成立，求出f(x)/x在[0,2]上的最小值e-1