Question

初二的数学竞赛题

在三角形ABC中，角C等于90度，D是AB中点，E.F分别在BC.AC边上，且角EDF等于90度。（1）如图1，若E是BC的中点，EF与AF.BE有怎样的数量关系？（2）如图2，当F在AC上运动时，点E在BC上随之运动，问在运动的过程中，EF与AF.BE有怎么的数量关系？
图

Answer 1

解：（1）EF^2= AF^2+BE^2.

∵ 分别是AB,BC的中点，
∴ DE‖AC，且DE=AC/2.
∵∠C=90 ,∠EDF=90 ,
∴ 四边形CFDE是矩形，
∴DE=CF=AF,DF=CE=BE.
又∵∠EDF=90，
∴EF^2=DF^2+DE^2=AF^2+BE^2

(2) EF^2= AF^2+BE^2

延长FD至G,使得DG=DF,连结BG,EG.
则△AFD≌△BGD.
∴BG=AF=CF, DF=DG , ∠GBD=∠A .
∵∠EDF=90 ∴EF=EG.
又∠GBD=∠A，
∴BG‖AC,
∴∠GBE=∠C=90,
∴EG^2=BE^2+BG^2=BE^2+AF^2
∴ EF^2=AF^2+BE^2.

Answer 2

（1）延长FD到M，使DM=DF。连接BM、EM。
在△AFD与△BMD中
FD=MD
∠FDA=∠MDB
AD=BD
∴△AFD≌△BMD（SAS）
∴AF=BM
∵ED垂直平分FM
∴EF=EM
∵DE为△ABC的中位线
∴DE‖AC
∴∠CED=90°
∵∠EDF=90°
∴∠CFD=90°
∴∠AFD=90°
∴∠DMB=90°
∴DE‖MB
∴∠EBM=90°
∴EM²=EB²+BM²
∴EF²=BE²+AF²
（2）同理可得EF²=BE²+AF²

Answer 3

天啊，现在的孩子怎么都这样啊？！！！！我这几天一直帮这帮小孩回答初中的问题，一开始感觉自己是助人为乐，后来才发现自己是带坏孩子啊。。。

太可怕了，建议现在的孩子还是好好学习吧，不要什么问题都到网络上来问。

我们这些过来人也不要帮忙回答了，这样不好。

Answer 4

（1）延长FD到M，使DM=DF。连接BM、EM。
在△AFD与△BMD中
FD=MD
∠FDA=∠MDB
AD=BD
∴△AFD≌△BMD（SAS）
∴AF=BM
∵ED垂直平分FM
∴EF=EM
∵DE为△ABC的中位线
∴DE‖AC
∴∠CED=90°
∵∠EDF=90°
∴∠CFD=90°
∴∠AFD=90°
∴∠DMB=90°
∴DE‖MB
∴∠EBM=90°
∴EM²=EB²+BM²
∴EF²=BE²+AF²
（2）同理可得EF²=BE²+AF²

Answer 5

对，非常正确