Question

求数列通项时的特征方程是什么？怎样推导这种方法？

推导……

Answer 1

特征根法是解常系数齐次线性微分方程的一种通用方法。特征根法也可用于求递推数列通项公式，其本质与微分方程相同。
r*r+p*r+q称为对递推数列: a(n+2)=pa(n+1)+qan的特征方程。
设特征方程r*r+p*r+q=0两根为r1，r2。
对递推数列：
1 若特征方程有两个不等实根r1,r2则an=c1*r1^n+c2*r2^n
其中常数c1,c2由初始值a1=a,a2=b唯一确定。
(1) c1r1+c2r2=a;
(2) c1r1^2+c2r2^2=b
2 若特征方程有两个相等实根r1=r2=r
an=(c1+nc2)r^n
其中常数c1,c2由初始值唯一确定。
(1) a=(c1+c2)r
(2) b=(c1+2c2)r^2

Answer 2

a(n+2)=pa(n+1)+qan,p,q为常数
（1）通常设：a(n+2)-ma(n+1)=k[a(n+1)-man],
则
m+k=p,mk=-q
（2）特征根法：
特征方程是y²=py+q（※）
注意：①
m
n为（※）两根.
②
m
n可以交换位置,但其结果或出现两种截然不同的数列形式,但同样都可以计算an,而且还会有意想不到的惊喜,嘿嘿
③
m
n交换位置后可以分别构造出两组an和a(n+1)的递推公式,这个时侯你会发现,这是一个关于an和a(n+1)的二元一次方程组,那么不就可以消去a（n+1）,留下an,得了,an求出来了.