Question

2. 如图，已知四边形ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D¬2分别是AA1、BB1、CC1、DD1的中点．

Answer 1

用向量或坐标都挺简单的，

OA=a,OB=b,OC=c,OD=d
OA1=a1,OB1=b1,OC1=c1,OD1=d1
OA2=(OA+OA1)/2……OD2=(OD+OD1)/2
A2B2=(OB+OB1-OA-OA1)/2=[(OB-OA)+(OB1-OA1)]/2
B2C2=(OC+OC1-OB-OB1)/2=[(OC-OB)]+(OC1-OB1)/2
A2B2*B2C2=[BA*C1B1+B1A1*CB]/2=0

Answer 2

.如下图连接BC1和AB1分别找其中点F,E.连接C2F与A2E并延长相交于Q点,
连接EB2并延长交C2Q于H点,连接FB2并延长交A2Q于G点,
由A2E=A1B1=B1C1= FB2,EB2=AB=BC=FC1 ,又∠GFQ+∠Q=900和
∠GEB2+∠Q=900,所以∠GEB2=∠GFQ又∠B2FC2=∠A2EB2,
可得△B2FC2≌△A2EB2,所以A2B2=B2C2,
又∠GFQ+∠HB2F=900和∠GFQ=∠EB2A2 ,
从而可得∠A2B2C2=900 ,
同理可得其他边垂直且相等,
从而得出四边形A2B2C2D2是正方形.