Question

高中数学题

设集合I={1，2，3，…n}n属于N+，选择I的两个非空子集A和B，使B中最小的数大于A中最大的数，记不同的选择方法种数为an，显然a1=0,a2=C22=1.
1,求sn
2,记数列an前n项和为Sn,求n

Answer 1

先看an
显然讨论B中最小的数，引入m表示B中最小的数
因A,B均非空
故B中最小的数可以是2，3，n这n-1个
当m=2时，此时有C1(1)[C(n-2)0+C(n-2)1+……+C(n-2)(n-2)]=2^(n-2)
……
当m=k时，此时有[C(k-1)1+C(k-1)2……+C(k-1)(k-1)][C(n-k)0+C(n-k)1+……+C(n-k)(n-k)]=2^(n-k)[2^(k-1)-1]
当m=n时，此时有[C(n-1)1+C(n-1)2……+C(n-1)(n-1)][C(0)0]=2^(n-1)-1
故an=2^(n-2)[2^(2-1)-1]+2^(n-3)[2^(3-1)-1]+2^(n-4)[2^(4-1)-1]+……+2^(n-n)[2^(n-1)-1]
=(n-2)*2^(n-1)+1
即an=(n-2)*2^(n-1)+1
Sn=a1+a2+……+an
利用错位相减法可以得到：
Sn=(n-3)*2^n+n+3