证明
1、比较审敛法
因此该级数发散。
2、积分判别法
通过将调和级数的和与一个瑕积分作比较可证此级数发散。考虑右图中长方形的排列。每个长方形宽1个单位、高1/n个单位（换句话说，每个长方形的面积都是1/n），所以所有长方形的总面积就是调和级数的和： 矩形面积和：
而曲线y=1/x以下、从1到正无穷部分的面积由以下瑕积分给出： 曲线下面积：
由于这一部分面积真包含于（换言之，小于）长方形总面积，长方形的总面积也必定趋于无穷。更准确地说，这证明了：
这个方法的拓展即积分判别法。
3、反证法
假设调和级数收敛 , 则：
但与
矛盾，故假设不真，即调和级数发散。
扩展资料
调和级数是各项倒数为等差数列的级数，通常指项级数
各项倒数所成的数列（不改变次序）为等差数列。从第2项起，它的每一项是前后相邻两项的调和平均，故名调和级数。
推而广之，具有这种性质的每一个级数，即形如
的级数也称为调和级数，其中 a,b 是常数. 调和级数是发散的，但其部分和
增长极慢。
欧拉 (Euler,L.) 计算过
与
是等价无穷大，更准确地，有
其中 C=0.557 215... 是欧拉常数，
这是欧拉于1740 年发现的，更一般地，级数
称为广义调和级数，亦简称调和级数，它的通俗名称是 p 级数，当 p>1 时收敛，p<=1 时发散。
参考资料来源：百度百科-调和数列
参考资料来源：百度百科-调和级数
由调和数列各元素相加所得的和为调和级数，易得，所有调和级数都是发散于无穷的。
很早就有数学家研究，比如中世纪后期的数学家Oresme在1360年就证明了这个级数是发散的。他的方法很简单：
1 +1/2+1/3 +1/4 + 1/5+ 1/6+1/7+1/8 +...
1/2+1/2+(1/4+1/4)+(1/8+1/8+1/8+1/8)+...
注意后一个级数每一项对应的分数都小于调和级数中每一项，而且后面级数的括号中的数值和都为1/2，这样的1/2有无穷多个，所以后一个级数是趋向无穷大的，进而调和级数也是发散的。
从更广泛的意义上讲,如果An是全部不为0的等差数列，则1/An就称为调和数列，求和所得即为调和级数，易得，所有调和级数都是发散于无穷的。
分段
=1+1/2+(1/3+1/4)+(1/5+1/6+1/7+1/8)+(1/9+1/10...+1/16)+...
放缩法，每个括号里统一分母
>1+1/2+(1/4+1/4)+(1/8+1/8+1/8+1/8)+(1/16+1/16...+1/16)+...
=1+1/2+2/4+4/8+8/16...
=1+1/2+1/2+1/2+...
有无穷多个1/2 所以是趋于无穷大的
调和级数缩小后尚且趋于无穷大，说明调和级数本身也是趋于无穷大的，故发散。
