Question

高中数学：已知函数f(x)=ln(x+a)－x^2－x在x＝0处取得极值。问题见补充

⑴求实数a的值；⑵证明：对任意的正整数n，不等式2＋3/4＋4/9＋┄＋(n＋1)/n^2＞ln(n＋1)都成立。注：x^2表示x的平方

Answer 1

f(x)=ln(x+a)-x^2-x 显然a＞0
f'(x)=1/(x+a)-2x-1
∵f(x)在点x=0处取极值，
∴f'(0)=0,可得a=1
∴f(x)=ln(1+x)-x^2-x
f'(x)=-x(x+3)/(x+1)
当-1＜x＜0时f'(x)＞0，当x＞0时f'(x)＜0，∴在点x=0处f(x)取极大值-2，当x＞0时，ln(1+x)＜x^2+x.
取x=1/n (n∈N*），可得(n+1)/(n^2)＞ln[(n+1)/n]，再取n=1,2,3,…，n,将所得的n个式子相加，就可得出所要证的式子。

Answer 2

a=1
需要用点导数知识，同学

Answer 3

求导行吗?

Answer 4

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