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解：
a+b=1
a²+b²=(a+b)²-2ab
ab=[(a+b)²-(a²+b²)]/2=(1²-2)/2=-½
a⁵+b⁵
=(a+b)(a⁴+b⁴)-a⁴b-ab⁴
=(a+b)[(a²+b²)²-2a²b²]-ab(a³+b³)
=(a+b)[(a²+b²)²-2(ab)²]-ab(a+b)(a²+b²-ab)
=1·[2²-2·(-½)²]-(-½)·1·[2-(-½)]
=19/4
解题思路：
先由已知条件，求得ab的值，然后通过恒等变形，将a⁵+b⁵变形为包含a+b、a²+b²、ab的代数式。
本题解题过程截图如下：
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a+b=1
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2=1
a^2+b^2=2
2ab=-1
a^2-2ab+b^2=2+1=3
(a-b)^2=3
a-b=±√3
则a=(1+√3)/2,b=(1-√3)/2
a^2=1+√3/2,b^2=1-√3/2
a^4=7/4+√3,b^4=7/4-√3
a^5=19/8+7√3/8+√3/2;b^5=19/8-7√3/8-√3/2
a^5+b^5=38/8=19/4
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2=1
a^2+b^2=2
2ab=-1
a^2-2ab+b^2=2+1=3
(a-b)^2=3
a-b=±√3
则a=(1+√3)/2,b=(1-√3)/2
a^2=1+√3/2,b^2=1-√3/2
a^4=7/4+√3,b^4=7/4-√3
a^5=19/8+7√3/8+√3/2;b^5=19/8-7√3/8-√3/2
a^5+b^5=38/8=19/4
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a+b=1,a^2+b^2=2,
a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=1
ab=1/2[(a+b)^2-1]=3/2
a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)=1-3*3/2*1=-7/2
(a^3+b^3)(a^2+b^2)=a^5+b^5+(ab)^2(a+b)=-7
a^5+b^5+(ab)^2(a+b)=-7
a^5+b^5=-7-(ab)^2(a+b)=-7-9/4=-37/4
a^5+b^5=-37/4
a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=1
ab=1/2[(a+b)^2-1]=3/2
a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)=1-3*3/2*1=-7/2
(a^3+b^3)(a^2+b^2)=a^5+b^5+(ab)^2(a+b)=-7
a^5+b^5+(ab)^2(a+b)=-7
a^5+b^5=-7-(ab)^2(a+b)=-7-9/4=-37/4
a^5+b^5=-37/4
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