Question

将这段话变简体,没WORD,只好这样了

通常说微积分其实是 Newton 与 Leibniz 发明的，指的是他们两人使微积分观念成熟，澄清微、积分之间的关系，使计算系统化，并且把微积分大规模使用到几何与物理上。在他们之前，微积分是萌芽时期，观念在摸索中，计算是个别的，应用也是个别的。
积分的起源很早，古希腊时期就有求特殊图形面积的研究；他们用的是穷尽的方法。Archimedes 用内接正多边形的周长来穷尽圆周长，而求得圆周率愈来愈好的近似值，也用一连串的三角形来填充抛物线的图形，以求得其面积；这些都是穷尽法的古典例子。
Archimedes 另外用了「分割、取点、求和、求极限」的步骤，求得 Archimedes 螺线内的面积。这样的过程正是现代微积分观念的源头。可惜 Archimedes 后继无人。
文艺复兴之后，基於实际的需要及理论的探讨，积分技巧有了进一步的发展。譬如为了航海的方便，Mercator 发明了所谓的麦氏投影法，使得地图上的直线就是航海时保持定向的斜驶线。他让经线平行而等间距离散开，让纬度 θ 附近的纬线长做 倍的放大，因此纬度为 θ 的纬度线与赤道的间距应为 。麦氏不会这样的积分，就开始用分割，取点后所求得的和来做为近似值；这是数值积分法的例子。
在理论方面，有所谓的无穷小方法。譬如 Kepler 认为圆周长 S 可写成无穷个无穷小的弧长 ds 之和： ，而每一 ds 相应的扇形可看成一三角形，其高为半径 r，底为 ds，面积为 ，把这些扇形面积做和，就得圆面积为 。
Galilei 认为面积是由无穷小宽度的线条织成的，由此可得速度曲线下的面积为距离。用类似的想法，Cavalieri 得到Cavalieri 原理： 。由此可导得许多积分，譬如 。
同样在文艺复兴之后，因为实际的需要，开始用无穷小的方法，考虑速度、变化率及切线的问题。譬如距离 y 与时间 x 的关系设为 y=x2，则 x 的无穷小变化 dx，所引起 y 的无穷小变化为 dy=(x+dx)2-x2=2xdx+dx2，两者相除就得速度为 （因为 dx 为无穷小而有最后的等号）。
一固定长线段 a 分成两线段，长各为 x 及 a-x，则所围长方形面积为 f(x)=x(x-a)。Fermat 原理说：一个函数 f(x) 有极值的地方，f(x+dx) 要与 f(x) 相等。用无穷小方法处理 f(x+dx)=f(x)，就得 。无穷小观点的 f(x+dx)=f(x)，其实就是现在观点的 f'(x)=0。
用无穷小方法求切线，就如图所示：P 为切点，P 的坐标 x 做无穷小的变化剩 x+dx，则相应曲线上的 S 点，与原来的 P 点会相近到曲线弧 PS 可看成直线，因此 与 相似，而 T 点就可求得。Galilei、Fermat 等人都精於用无穷小方法处理微分的问题。

使用无穷小处理微分或积分的问题，都要有极强的几何直观，需要仔细分辨何时 dx 不为0，何时要为 0，以避开逻辑上的困境。现在微积分的根源其实就是无穷小的方法，只是它把无穷小的观念分成两阶段来处理：先有限，再取极限，而符号则保留了无穷小的用法。
对不住大家了，请大家不要回答，我实在是想不到办法了才出此下策，没有word啊！

Answer 1

从牛顿的万有引力，我们看得出数学与物理有密切的关系，而且近三百年来的发展，更证明了物理几乎离不开数学：古典力学体系总结於 Lagrange 及 Hamilton 的微分方程式；联系宏观现象与微观现象（如气体动力学）用的是统计的方法；电磁学经由 Maxwell 方程式而脱胎换骨；狭义相对论找到 Minkowski 的非欧几何模型；广义相对论植基於 Riemann 几何学；量子力学的不同描述法经由泛函分析统一后，有新的诠释；基本粒子经由群论而看出一些规则性；最近的物理学则越来越用矢量丛的理论，做为其演绎的语言。物理学中，无论是决定论的想法，或是机率论的想法，数学总有相应的语言可资使用。另外，物理学中有些原理，如守恒原理、最小作用量原理、对称原理等，都是数学式的语言，很容易用数学的方法处理。

数学在物理学中有这麼重要，我们禁不住要问：「数学为什麼这麼有用？」「数学在物理理论的建立与演绎过程中到底扮演什麼样的角色？」

数学为什麼这麼有用？最简单的答案是：「自然说的是数学话。」这种想法大约起源於西元前600年左右。那时候一些希腊哲学家认为大自然是循然有序，依照一定模式来变化的。於是他们用数学的方法来描述变化的原因，预测变化的结果。他们最先认为自然是用整数来建立的，这就是毕氏学派的（数学）原子论。其后又认为自然是依几何方式来变化的，这种想法从西元前四世纪的同心球理论，到西元二世纪 Ptolemy 的周转圆理论而确立。Kepler 虽然舍弃了周转圆的理论，但他还是以几何的语言来描述行星的运动。

牛顿以及他那一世代的科学家都是虔诚的教徒，他们的发现虽然使人更确认自然是说数学话的，但也证明了天体运行和地面运动遵守同一定律，因此众星与地球没有什麼不同，而且上帝子民的地球居然也不过是躲在宇宙中的一个小角落裏。这样的发现虽然违反了宗教的固有信念，但他们到底在宗教与科学的两极中找到了平衡点：他们坚信上帝是个超级的数学家，科学家的努力只不过是在了解上帝创造宇宙的意图与计画。

然而由於人类一再用推论的方法寻找到了自然的规律，宗教信仰变成与科学工作无关的另一件事。拿破仑发现 Laplace 在其谈论宇宙系统的著作「天体力学」中居然没提到上帝，而以此相责。Laplace 回答说：「我并不需要这样的假定。」从此以后，科学的研究基本上与宗教的信仰分了家。

上帝是超级数学家的假定没有了，但是科学家还是坚信自然是说数学话的，数学继续成为科学工作者不可或缺的工具。到了二十世纪，科学家发现自然所说的数学话居然不完全是牛顿式的，於是科学家的态度有了一些改变，不再认为他们能够直接找到自然的真理;他们能做的是提供数学的模型，逐次逼近自然的真实状况。爱因斯坦说：「宇宙解不开的谜在於其可理解性。」又说：「迄今为止的经验使我们有理由认为，自然是最简单的、可以构想到的数学概念的一种体现。」

「自然说的是数学话」是否回答了「数学为什麼这麼有用」这个问题？自然是否说的是另一种我们还不知道的，比数学还真确或内容更丰富的语言？我们无法回答。许多数学家或物理学家对「数学为什麼有用」这个问题加以探讨，譬如 Wigner 的文章〈The unreasonable effectiveness of Mathematics in the natural sciences〉 注1 ，Dyson 的文章〈Mathematics in the physical sciences〉 注2 及 Kline 的书《Mathematics and the Search for Knowledge》 注3 ，都是很有名的。然而说来说去，他们的结论，无论是明指或是暗示，还是「自然说的是数学话」，或者转而举出许多「数学怎样有用」的例子，来说明「数学为什麼有用」。「自然说的是数学话」是物理学家的信念，否则他们的研究就会失去了方向。

讨论「数学为什麼有用」，很容易超出科学的范畴，进入哲学的领域。我们不想做哲学式的思辨；退一步，我们想知道「数学是怎样有用的」，因此把焦点转向第二个问题：「数学在物理理论的建立与演绎过程中，到底扮演什麼样的角色？」

还是以牛顿力学体系数学模型建立的过程为例。牛顿根据已有的物理观测，用数学帮著猜出向心平方反比的万有引力，按著又靠著数学，证明万有引力定律不但包容已知的 Kepler 行星运动定律，而且可以解释更多的已知现象，更进一步还能预测许多未知的景况。推敲新模型、核对已知、预测未来，数学在物理中帮著做这些事。

我们还可以从另一角度来看「数学是怎样有用的」，亦即，数学做为一种语言有什麼特色，使得它能对物理这麼有帮助。

首先，数学是种精简的语言。想想看，如果把数学字眼从 Kepler 的三个运动定律中拿掉，而代之以一般叙述性的用语，则如何把它们说得清楚？想想看，万有引力公式 F = GMm / R2，若用普通用语说出来，会成什麼样子？

有了精简的语言，用它来推论就很方便。如果推论是证明式的，那麼只要前题正确，其结论也是百分之百正确的；根据百分之百正确的结论再证明而得的新结论也是百分之百正确。如此反覆进行，所得的各个结论，虽然离开最原始的假设甚远，也不用担心其正确性。

反观其他求得结论的方法，如归纳、如类比、如例举，甚至臆测也可能得到正确性相当高的结论。但是如果这样的结论不是百分之百正确的。那麼据之再推得的新结论又要打折扣。如此，只要距离原始的假设稍远，结论的正确性，经过七折八扣，就几乎等於零了。

物理学中用数学做长程推论的，虽然不一定完全遵行严谨的证明程序，但总不会离得太远，其可靠性就相当大；用数学算出一个海王星是个出名的例子。

数学发展的特色之一，是建立内在自动推论的机制。臂如有了代数，算术的推论过程就由数本身的代数演算规则完全代替。有了坐标几何，几何问题也转成代数计算。微积分则代替了几何加上极限这种复杂的推论过程，而且微积分的运算又力求代数化。由此可见，数学之能成为犀利的推论工具，正是数学的一大特色。

数学语言由於精简，一些不是决定性的次要物理内涵不在式子中出现，而减少干扰。有些物理学家可从精简的数学公式，不经严格的推论而预想出一些未知的物理现象。Maxwell 把 Faraday 有关电磁场的想法数学化，归纳成几个简单的方程式，而使电学与磁学统合成电磁学。他更从这些方程式出发，推导出电磁波的方程式，而此电磁波在真空中的速度正与当时所知的光速相近，因此预测光也是一种电磁波，可见光只是电磁波谱中的一部分而已。后来发现无线电波，证明 Maxwell 预测的 Hertz 说：「我们不得不承认，这些数学公式不是完全人造的，它们本身是有智慧的。它们比我们还聪明，甚至比发现者也聪明。我们从这些公式所得到的，比当初放到这些公式中的还多。」

Dirac 把相对论用到量力子学裏，而得到有关电子波的一组方程式。从其中看出电子可能有正能量与负能量两种状态。假想在填满负能量的「电子海表」出了一个缺时，这个「空洞」的行为就如同一个带正电的粒子。此粒子不应该是质子，因其质量比电子大得多。所以他预测有一种称为正子的粒子，其质量及各种性质相同於电子，只是电性相反。他又预测有反质子。这些在日后都经实验证明为真；整个反粒子理论似乎就是从方程式中跳出来的。

类似的例子很多，尤其在量子力学及粒子理论中，更是到处可见。这种现象使 Wigner 有感而发，而把他的文章定为「数学在自然科学中令人无法理解的有效性」。

总而言之，从数学语言的特性来看，数学不但有表达、计算、推论的能力，甚至有时还有启发的功能，也难怪物理是离不开数学的。

然而在物理学的发展过程中，数学不是永远站在它这边的。同心球与周转圆理论，使天文学停留在错误的模型上长达1800年之久。Kepler 坚信圆与球是最完美的，等速是最合常理的，使得他在确立行星运动定律上多花了好几年。牛顿坚信古典几何的美，顺应时人的习惯，所以用古典几何写他的书。他的著作使人叹服，然而也妨碍别人做迅速而深入的了解。传统的积习常使人裹足不前。

另外，数学与物理各有其研究的目的与方法，两者在发展的过程当中虽然常相提携，但性格上却有不相容的地方。有良好的数学基础固然对物理的了解有很大的助益，然而物理绝不能单靠数学而能有所成的。

我们也可以把数学与物理的角色倒过来，看看物理如何促进数学的发展。古代的天文学使数学逐渐发展了复杂的计算方法与理论，如平面三角学、球面三角学、对数及内插法等就是。力学体系的建立，数学功不可没；但微积分、微分方程、变分法、复变函数论等分析学的各分支，无不因面对各种力学问题的挑战，而日益丰富起来。

从十九世纪开始，理论性数学发展迅速，受物理的刺激较少，数学与物理似乎分了家。然而自然是说数学话的，纯理论发展出来的数学，有些在日后就有用了，向量分析、非欧几何学、Riemann 几何学、泛函分析、机率论、统计方法、群论、矢量丛理论等等都是具体的例子。对物理而言，数学就像摆在橱窗裏的衣服，随时等候选用。

可是物理促发某些数学发展的传统并不就此消失。广义相对论使 Riemann 几何学的研究热络起来，Jordan、von Neumann、Wigner 等人为了量子力学而发展的某些矩阵理论，引发了所谓的 Jordan 代数；Dirac 的不是函数的 δ 函数，终於促使数学家研究起超函数 (distribution)。只要自然所说的数学话还没有真象大白，这种传统还是会继续下去的。

在惊叹数学对物理这麼有用之余，我们不得不提出上述几点，以免过分渲染数学在物理学中的客卿地位，而使物理学本身的特色模糊不清，或者使数学受益於物理的事实隐藏不显

Answer 2

文艺复兴以后，西方的科学观，可以 Galileo Galilei（1564～1642年）的看法为代表。他认为大自然是依数学方式建构的，人只要掌握各种现象的基本数学关系，就可以靠数学加以推演。将自然科学数量化，寻求其间的数学关系并加以推演，就成了研究自然科学的新方法。科学革命对数学的影响之一就是促使函数观念渐趋成熟；当然，函数观念的成熟也使科学研究带来许多方便。

Galilei 研究落体运动，发现「物体在空中下降的距离（从静止开始计算）与所经过时间的平方成正比」、「物体从高度固定的斜板滑落所需的时间与斜板的长度成正比」。也就是说他发现了距离与时间或时间与长度之间的数学关系。距离随时间而变或时间随长度而变，用现在的说法就是：距离是时间的函数或时间是长度的函数。研究运动也引出更多的曲线——点动成曲线，而曲线和函数之间，也经由解析几何的引入，变得不可分离。

用坐标的方法研究曲线，就是把曲线以 x、y 的关系式表示，然后用代数的方法加以处理。反过来，如果采取 Fermat 式的解析几何观，从任何一个 x、y 的关系式出发，探讨它所代表的曲线的几何性质，那麼函数观念的重要性更显而易见了，因为 x、y 之间的关系常以函数的方法出现。

函数到底是什麼呢？最早的想法认为：一个函数是一个代数式子，只含变数以及加减乘除开方等符号，渐渐地，所谓超越（代数的）函数，如 、、ax 等等地加了进来，加上种种曲线的研究，现在所谓的初等函数，在十八世纪上半叶就已经非常清楚了。

为了求得一个函数的导数，Newton（1642～1727年）尽量把函数写成幂级数，譬如，为了求得 （α 为实数）的导函数，Newton 利用 的幂级数

而得

因此当 h 趋近於 0 时，就得

到了十八世纪，数学家乾脆认定函数就是幂级数。譬如

则

因此当 x 趋近於 0 时，就得 f'(x0) = a1。由此可以导出：一个函数（幂级数）各项的微分和就是原函数的微分；反过来，一个函数各项的积分和就是原函数的积分。这麼一来，函数的微积分变得非常简单；当然他们忽略了幂级数的收敛问题。

「函数就是幂级数」是十八世纪众所公认的观念，但波动问题的兴起，使得这种观念不时遭到挑战，迫使 Euler（1707～1783年）也承认：最先开始时，弦所成的曲线 y=f(x) 可以是任意的，只要是连续的，但不一定可以用幂级数来表示。到了 Fourier（1768～1830年）研究热传导时，他发现他必须把初期条件函数 f(x) 以三角级数的方式展开：

而

根据传统的做法，他原假定 f(x) 为幂级数才能得到这样的表示法，但他注意到an、bn 只不过是函数

的曲线之下的面积而已，所以不管 y=f(x) 是怎样的曲线，an、bn 都可以计算而得。他试了种种的函数 f(x)，求取头几个 an、bn 的值，发现将由此而得的三角级数头几项和所代表的曲线与原来的曲线 y=f(x) 相比较，都相当接近。所以 Fourier 深信「任何」函数 f(x) 都可以表成三角级数之和。

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图一

三角级数的兴起引起了函数观念的再检讨。譬如在 中，若 y = f(x) = x，那麼 f(x) 的三角级数表示式，因周期性的关系，会将 区间内的曲线，在区间外一再重复，如图一所示。也就是说，由许多断线所组成的图形居然可以用一级数来表！既然如此，图一也可以当做一个函数 g(x)，虽然用简单的式子来表时，它需要分段处理：

若 x 在 之内，则

推而广之，可以分段用熟知的式子表示者也可以看成函数，在十八世纪时很少人会有这样的认识。

Fourier 宣称「任何」函数都可以表成三角级数之和的看法更值得检讨，因为到底什麼是函数，Fourier 也说不清楚。函数观念的澄清是 Dirichlet（1805～1859年）研究 Fourier 论之后的重要贡献之一。他认为 y=f(x) 是个函数的意思是说：f 是一个规则，它告诉我们说，变数 x 之值固定了，其相应唯一的 y 值是什麼。f 不一定要是个式子，它只要能说清楚 x 到 y 之间的对应是什麼就好了。有了 Dirichlet 的函数观念，数学家才能谈什麼时候 an、bn 之值可以确定，什麼相对应的三角级数在特定的区间内和原来的函数是一致的。

虽然 Dirichlet 有了函数最一般的定义，通常我们总希望用式子来表示一个函数所提供的规则。但什麼是式子呢？譬如，我们都承认 f(x)=x2+x+1 是个式子；其实它代表一段叙述，告诉我们函数对应的规则：把变数 x 自乘，加上变数本身，再加上 1，就是变数对应的 y 值。只因我们太习惯多项式所代表的意义，所以认为它是个式子，而不认为它代表的是一段叙述。再如 也是一样，初学的人认为它代表一段叙述，但习焉不察后就成了式子。f(x) = [x] 代表不超过 x 的最大整数，更是一个明显的例子。除了多项式、幂级数、三角级数外，更一般的函数项级数，譬如以 Bessel 函数或 Legendre 多项式为通项的级数，都可以看成式子。

除了「明」的式子外，还有些「暗」的式子。暗的式子指的是以参数函数、隐函数、微分方程式、积分方程式等来表示自变数 x 与他变数 y 之间的数学关系。怎样化暗为明自然是最重要的课题之一。

式子之外，函数最常以曲线的形式出现。当然，每当有曲线出现，数学家总是想办法把它量化，以式子的形式表示，好方便研究。譬如行星运行的轨道，是个椭圆其（隐）函数为 。譬如两电线杆之间的电线所成的曲线（见图二），称为悬垂线。我们发现物理的观点，坐标之间的关系可以用微分方程式表示；解了此方程式，就得悬垂线的函数为

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图二

又譬如小提琴声波呈现规则而复杂的形状（见图三），它可以表成一三角级数。

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图三

当然并不是每条曲线都能找到适当的式子。譬如如某地的气温变化曲线，患病者的脑波（见图四）等等这些太不规则的曲线恐怕就很难用式子表示。

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图四

Dirichlet 曾经考虑过有理数的特徵函数，它在有理数时取值为 1，否则为 0。这样的函数根本无法用图形来表示。

Weierstrass（1815～1897年）曾经提出一个级数函数

它是个连续的，但到处不可微分的函数。用曲线的观点来看，它是个连续不断，一整条的，但又到处没有切线的曲线。这样的曲线是用图画不出来的。别以为这是古怪的曲线，Wiener（18944～1964年）证明：几乎所有的分子的 Brown 运动的路径都是连续而到处没有切线的。

Dirichlet 的函数观不但包含已往种种的函数，提供了许许多多新鲜有趣、有用的例子，而且也因为函数观念的确定，使得数学家能够讨论函数的连续、微分、积分等种种有关的性质。经过几世纪的发展，函数成为数学中最基本的观念之一，同时也是科学数量化的主要工具。

注： Leibniz 在1673年首先提到函数 (function) 这个字眼，他指的是跟随一曲线上的点而变动的量，譬如切线长、法线长、次切线、纵坐标等等。f(x) 做为一般函数的符号是1734年 Euler 首先采用的。

Answer 3

么意思啊，要别人看了，再给你做精简的解释？？？你真美如天仙啊
能上网，没word 真是奇怪了
告诉你，多特软件里office2003很好用 免费

Answer 4

你这样已经违背了百度知道的宗旨了，剥削别人的劳动啊？