Question

急急急!初等数论题目求解(高分献上)

1.一个数,13除余10;15除余14;16除余11,求该数.

2. 3^2009(3的2009次方)的末两位是多少?

3.不定式: ax+by=c 有解的充分必要条件是?

4.勒让德符号 Legendre(482/503)=?

5.512^50=__(mod45)

6.2009！标准分解式中3的 冥指数是？

7.求解同余方程式:【这题最好有过程】
X^3+X-5=0(mod125)
十万火急啊,求高人能尽可能的快啊!能做多少做多少吧,先挑简单的做啊！分数我会在加的。

Answer 1

1,
16k + 11 = 15k + k + 11, k = 3,
16*3 + 11 = 15*3 + 14 = 45 + 14 = 59,
59 + 15*16*m = 13*4 + 7 + (13+2)*(13+3)m = 13*4 + 7 + 13(5 + 13)m + 6m
= 13(18m + 5) + 6(m-1), m = 7,
59 + 15*16*7 = 1739
1739 + 13*15*16n, n = 0,1,2,... 满足要求。

2，
3^(2009) = 3*(3^2)^(1004) = 3*(10-1)^(1004)
= 3*[10^(1004) - 1004*10^(1003)+ ... + 1004*1003*10^2/2 - 1004*10 + 1]
3^(2009) = 3*[-1004*10 + 1] (mod100)
= 3[1 - 10040] (mod100)
= 3[1 - 40] (mod100)
= 3*61 (mod100)
= 183 (mod100)
= 83 (mod100)

3,
正整数a,b互质的充要条件是关于x,y的方程ax + by = 1有整数解。
因此，ax + by = c 有整数解的充要条件是 c为a,b 的最大公约数。

4，
Legendre(a/p)=0, if a = 0 (modp);
Legendre(a/p)=+1, if a不等于0，且对于某个整数x, x^2 = a (modp)
Legendre(a/p)=-1, 若不存在整数x,使得x^2 = a (modp).
Legendre(482/503)=Legendre(2/503)*Legendre(241/503)
Legendre(2/503) = (-1)^[(503^2 - 1)/8] = (-1)^[502*504/8] = (-1)^[251*126] = 1,
Legendre(241/503) = (-1)^[(241-1)*(503-1)/4]*Legendre(503/241)
= (-1)^[240*502/4]*Legendre(21/241)
= Legendre(3/241)*Legendre(7/241)
= (-1)^[(3-1)*(241-1)/4]*Legendre(241/3)*(-1)^[(7-1)*(241-1)/4]*Legendre(241/7)
= (-1)^[2*240/4]*Legendre(1/3)*(-1)^[6*240/4]*Legendre(3/7)
= Legendre(1/3)*Legendre(3/7)
= 1*(-1)^[(3-1)*(7-1)/4]*Legendre(7/3)
= (-1)^[2*6/4]*Legendre(1/3)
= (-1)*1 = -1.

娘啊，累惨了。。休息一哈。。

5,
512^50 = (11*45 + 17)^50 = 17^50 (mod45)
= 289^25 (mod45) = (45*6 + 19)^25 (mod45) = 19^25(mod45)
= 19*361^12(mod45)=19*(8*45+1)^12(mod45) = 19(mod45)

6,
[2009/3] + [2009/3^2] + [2009/3^3] + [2009/3^4] + [2009/3^5] + [2009/3^6] 【[]表示取整运算哈】
= 669 + 223 + 74 + 24 + 8 + 2
= 1000

7,
x = 5

Answer 2

第二题：43
2009/4=502……1
3 9 27 81
243 729 2187 6561
19683 59049 177147 531441
1594323 4782969 14348907 43046721
129140163
10460353203
43
83
23
63
03
每5个回圈，第一个不算，502-1=501，501/5=100……1，所以是第一个43

Answer 3

第二题
楼上的，你给分吧， 3^4=81, 那么 3^2008=(3^4)^502= *…*1 ,
3^2009 =3^2008 x 3 = *…*3

上上楼的自己都搅混了， 3^20= *…*01, 那么3^2009= *……*01 x 3^9
3^9 = 19683
所以 3^2009= *…*83
应该是83

其实正确的做法是构造10， 3^2009 = 3^2^1004 x 3 = 9^1004 x 3
=(10-1)^1004 x 3
注意1004是偶数，最后一项为-1的偶数次方，那么倒数第二项系数为-1004
展开为 （10^1004 - 1004x10^1003 + …… -1004x10 + 1） x 3
前面的都是“整百数字”， 只看最后两个
M x 100-10040+1 = N x100 - 40 + 1 = (N-1)x 100 +61
61 x 3 = 183
所以到最后，3^2009末尾两位应为 83

第6题
3|2009
3|669
3|221
3|73
3|24
3|8
2
3的指数为669+221+73+24+8+2=997

第五题 40
520 = 11x45+25, 所以 520^50(mod45)= (11*45+25)^50 (mod45) = 25^50(mod45) = 625^25(mod45)
625 = 14*45-5 所以上式= [（14*45-5）^5]^5 (mod45) = (N-625)^5 (mod45)
-625 = -14*45+5,即-625=5(mod45)所以上式= 5^5(mod45)=625(mod45)= -5(mod45)= 40 (mod45)

第一题 3120K+1739 K=0，1，2，……
首先确定,这种数字是每个公倍数段上一“轮回”，第一个数的范围 为 0 至 13*15*16 =3120，最后的结果要加上公倍数3120的K倍。

13分别与0~9乘再加10， 末位为 0，3，6，9，2，5，8，1，4，7；
（因为只要末尾所以实际用3来乘再加0）
15分别乘，再加14，末位为 4，9，……（实际用5乘再加4）
16分别乘，再加11，末位为 7，3，9，5，1,……（实际用6乘再加1）
比较以上两组数字，得到该数最后一位为 9，
与13相乘再加10能得到9的，必须有乘数末位为3
现在分别用3，13，23，33，43……233去试算（为什么是233，因为15*16=240，过了这个界限就循环了，在这个范围内找不到的话，就没解了）
看起来挺麻烦的，但是还好只有24个试算值，而且应该不会到最后一个才找到^_^，
结果1739 = 13*133+10 = 15*115+14 = 16*108+11

第三题 当a=b=0时,c=0

Answer 4

第二题答案是01 错了我给分给你