Question

大学数学的3个定理

介值性定理
微分中值定理
积分中值定理
各是什么 知道的告我下 谢谢了

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Answer 1

介值定理
定理：设函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续，则在这区间必有最大最小函数值：f(min)=A,f(max)=B,且A≠B 。那么，不论C是A与B之间的怎样一个数，在开区间(a,b)内至少有一点ξ，使得 f(ξ)=C (a<ξ<b)。
特别是，如果f(a)与f(b)异号，那么在开区间（a,b）内至少有一点ξ，使得f(ξ)=0 (a<ξ<b)---零值定理。
几何意义：在[a,b]上连续的曲线与水平直线y=C(A<C<B)至少相交于一点。
特别是，如果A与B异号，则连续曲线与x轴至少相交一次。
“介值定理”是闭区间上连续函数的性质之一。

微分中值定理是一系列中值定理总称，是研究函数的有力工具。它包括：
（1）费马中值定理
内容：
设函数f(x)在ξ处取得极值
且f(x)在点ξ处可导
则f'(ξ)=0.
推论：若函数f(x)在区间I上的最大值（最小值）在I内的点c处达到
且f(x)在点c处可导
则f'(c)=0.
（2）罗尔定理
内容：
如果函数f(x)满足：
在闭区间[a,b]上连续；
在开区间(a,b)内可导；
在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)，
那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b)，使得 f'(ξ)=0.
几何上，罗尔定理的条件表示，曲线弧 （方程为 ）是一条连续的曲线弧 ，除端点外处处有不垂直于 轴的切线，且两端点的纵坐标相等。而定理结论表明，
弧上至少有一点 ，曲线在该点切线是水平的.：
（3）拉格朗日定理
内容：
如果函数 f(x) 满足：
1)在闭区间[a,b]上连续；
2)在开区间(a,b)内可导。
那么：在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b)，
使等式 f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a) 成立。
（4）柯西中值定理
内容：
如果函数f(x)及F(x)满足
(1)在闭区间[a,b]上连续；
(2)在开区间(a,b)内可导；
(3)对任一x(a,b)，F'(x)≠0
那么在(a,b) 内至少有一点ξ，使等式
[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f'()/F'(ξ)
成立