Question

已知关于x的方程kx^2+2(k-1)x+k=0有两个不相等的实数根x1,x2

1.k的取值范围
2.是否存在实数k,使方程的两实根的平方和等于2?

Answer 1

第1题：
b^2 - 4ac = 4(k - 1)^2 - 4k^2 = 4k^2 - 8k + 4 - 4k^2 = 4 - 8k

要使方程有有两个不相等的实数根，必须b^2 - 4ac ＞0，即

4 - 8k＞0，则

k＜1／2 且k不为0．

第2题：
根据韦达定理，有：
x1 + x2＝－2(k-1)／k
x1 ＊ x2＝1

x1^2 + x2^2 = (x1 + x2)^2 - 2x1*x2 = 4(k-1)＾2／k＾2－2

要使方程的两实根的平方和等于2，那么有：
4(k-1)＾2／k＾2－2＝2

解得：k＝1／2

所以，当k＝1／2时，方程的两实根的平方和等于2．
（k＝1／2时，两实根是相等的．所以k＝1／2是否符合题目要求，看你自己理解了．若一定要不相等的实根，那就不存在；可两实根可以相等，那k＝1／2）

Answer 2

有两个不相等的实数根x1,x2
所以是二次方程，k不等于0
判别式大于0
4(k-1)^2-4k^2>0
-8k+4>0
所以k<1/2且k不等于0

由韦达定理
x1+x2=-2(k-1)/k,x1x2=k/k=1
x1^2+x2^2=(x1+x2)^2-2x1x2=4(k-1)^2/k^2-2=2
(k-1)^2/k^2=1
k^2-2k+1=k^2
k=1/2
不符合k<1/2且k不等于0
所以不存在