Question

线性代数中的线性变换

将一个三维向量乘上3阶方阵是线性变换，不能平移，原因是零向量乘上方阵后仍是零向量，请问怎么理解？为什么零向量保持不变就说明不能平移？

Answer 1

很简单，因为线性变换满足线性性质，所以零向量经过任何一个线性变换后都必然还是零向量。
推导过程：设f()为线性变换，那么
f(0向量)=f(0向量+0向量)=f(0向量)+f(0向量)，
所以 f(0向量)=0向量。

而平移就是将一个向量加上一个非零向量，所以零向量在变换下保持不变就说明此变换不是平移。

附注：在线性代数课本中已经证明在取定线性空间中基的情况下，线性变换可以看作是向量与方阵的乘积。