Question

超几何分布、二项分布的均值如何证明?

最近学校里学概率，学了超几何分布和二项分布的均值公式，但公式怎么证明老师没说，在百度、Google上也没找到。帮忙给个证明过程，谢谢

Answer 1

　　一、超几何分布

　　设总体有N个，其中含有M个不合格品。若从中随机不放回抽取n个产品，则不合格品的个数X是一个离散随机变量，假如n≤M，则X可能取0,1,2…，n；若n>M，则可能取0,1,2…，M，由古典方法可以求得X=x的概率是：

　　其中r=min(n,M)，这个分布称为超几何分布，记为h(n,N,M)

　　其期望：

　　期望的证明

　　

　　二、二项分布是概率统计里面常见的分布，是指相互独立事件n次试验发生x次的概率分布，比较常见的例子。种子萌发试验，有n颗种子，每颗种子萌发的概率是p，发芽了x颗的概率就服从二项分布。

　　下面计算数学期望,

　　Eξ=∑{ξ =0，n}ξ*C{ξ ，n}*p^ξ *q^(n-ξ)

　　=∑{ξ =0，n}ξ*n!/ξ!/(n-ξ)!*p^ξ *q^(n-ξ)

　　=∑{ξ =1，n}n!/(ξ-1)!/(n-ξ)!*p^ξ *q^(n-ξ)

　　=n*p*∑{ξ =1，n}C{ξ-1，n-1}*p^(ξ-1)*q^(n-ξ)

　　=n*p*(p+q)^(n-1)

　　=n*p

Answer 2

将概率分布函数做Z变换，得到概率生成函数G(z)
则均值就是G'(1)

比如二项分布：
分布函数：P{x=k}=[Cn,k] * [p^k] * [(1-p)^(n-k)]
生成函数：G(z)=[pz+(1-p)]^n
对其求导，并令z=1：G'(1)=np
也就是均值。

超几何分布是什么分布我不知道，不过方法是通用的

Answer 3

　　超几何分布是统计学上一种离散概率分布。它描述了由有限个物件中抽出n个物件，成功抽出指定种类的物件的次数（不归还）。
　　在产品质量的不放回抽检中，若N件产品中有M件次品，抽检n件时所得次品数X=k，则P(X=k)=C（M，k）·C(N-M,n-k)/C(N,n）， C（a b）为古典概型的组合形式，a为下限，b为上限，此时我们称随机变量X服从超几何分布（hypergeometric distribution）
　　（1）超几何分布的模型是不放回抽样
　　（2）超几何分布中的参数是M,N,n上述超几何分布记作X~H(N,n,M）。
　　期望

　　对X~H(N，M，n），E(x)=nM/N
　　证明：引理一：∑{C(x,a)*C(d-x,b),x=0..min{a,d}}=C(d,a+b），考察（1+x)^a*（1+x)^b中x^d的系数即得。（另：还可以由超几何分布1=∑P(X=K),k=0,1,2....n得）
　　引理二：k*C(k,n)=n*C(k-1,n-1），易得。
　　正式证明：
　　EX=∑{k*C(k,M)*C(n-k,N-M)/C(n,N),k=0..min{M,n}}
　　=1/C(n,N)*∑{M*C(k-1,M-1）*C(n-k,N-M),k=1..min{M,n}}
　　//（提取公因式，同时用引理二变形，注意k的取值改变）
　　=M/C(n,N)*∑{C(k-1,M-1）*C(n-k,N-M),k=1..min{M,n}} （提取，整理出引理一的前提）
　　=M*C(n-1,N-1）/C(n,N) （利用引理一）
　　=Mn/N （化简即得）
　　二项分布即重复n次独立的伯努利试验。在每次试验中只有两种可能的结果，而且两种结果发生与否互相对立，并且相互独立，与其它各次试验结果无关，事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变，则这一系列试验总称为n重伯努利实验，当试验次数为1时，二项分布就是伯努利分布。
　　证明:由二项式分布的定义知，随机变量X是n重伯努利实验中事件A发生的次数，且在每次试验中A发生的概率为p.因此，可以将二项式分布分解成n个相互独立且以p为参数的（0-1）分布随机变量之和.
　　设随机变量X（k）(k=1,2,3...n)服从（0-1）分布，则X=X(1)+X(2)+X(3)....X(n).
　　因X(k)相互独立,所以期望：E(X)=E[X(1)+X(2)+X(3)....X(n)]=np.
　　方差：D(X)=D[X(1)+X(2)+X(3)....X(n)]=np(1-p).
　　证毕.