Question

高数证明问题！

证明：当0<x<2时，4x-x^2-2x+4>0.因为我在做用函数单调性和极值法做这种题，所以姑且就用这种方法给我分析吧，正解中说因为判断不了f'(x)=4lnx-2x+2是否在（0，2）恒正以及lim(x->+0)fx和lim(x->-2)fx的符号，所以只能采用极值的方法.我不明白的是，上次做过一道题也是判定端点处极限，因为是求与x轴有几个交点问题，反正 这种问题我还是不懂 晕死5555555！
是4xlnx-x^2-2x+4 注意到 我的问题不是问这个题怎么求 而是在问取极限的原因 我要的是分析过程 这题为什么说判断不了f'(x)=4lnx-2x+2是否在（0，2）恒正以及lim(x->+0)fx和lim(x->-2)fx的符号，所以只能采用极值的方法.

Answer 1

令f(x)=4xlnx-x^2-2x+4,0<x<2
计算函数在(0,2)上的最小值，如果大于0的话，便可得到不等式．
limit[x->+0]f(x)=4+limit[x->+0]4xlnx
=4+4limit[x->+0]lnx/x^(-1)
=4+4limit[x->+0](1/x)/(-1/x^2)
=4+4limit[x->+0](-x)=4>0
limit[x->2-]f(x)=f(2)=8ln2-4=4ln(4/e)>0
f'(x)=4lnx-2x+2，令f'(x)=0得到x=1,而f(1)=0
因此函数在(0,2)上的最小值为f(1)=0
故f(x)>=0，即 4xlnx-x^2-2x+4>=0,0<x<2

Answer 2

令f(x)=4x-x^2-2x+4,则f'(x)=4-2x-2=2-2x,f''(x)=-2
f'(1)=0,所以f(x)在x=1取得极大值；
而f(x)=4,f(1)=5;f(2)=4>0从而有f(x)>0在(0,2)上均成立。

Answer 3

你是不会用极值方法求还是怎么？