Question

圆锥曲线

设x,y属于R,向量i,j为直角坐标平面内x,y轴正方向的单位向量,若向量a=xi+(y+2)j,向量b=xi+(y-2)j,且|a|+|b|=8.
(1)求点M(x,y)的轨迹C的方程
(2)过点(0,3)作直线l与曲线C交与A,B两点,设向量OP=向量OA+向量OB,是否存在这样的直线l,使得四边形OAPB是矩形?若存在,求出直线l的方程;若不存在,试说明理由.
帮帮忙,要求有重要的过程!谢了!

Answer 1

(1)∵a＝xi＋(y＋2)j，b＝xi＋(y－2)j ，且| a |＋| b |＝8
∴点M(x，y)到两个定点F1(0，－2)，F2(0，2)的距离之和为8
∴轨迹C为以F1，F2为焦点的椭圆，方程为 x^2 /12+y^2/16=1
(2)l 过y 轴上的点(0，3)，若直线l 是 y轴，则A、B两点是椭圆的顶点
∴ 向量OP=向量OA+向量OB=0 ∴P与O重合，与四边形OAPB是矩形矛盾．
∴直线 l的斜率存在，设 l方程为y＝kx＋3，A(x1，y1)，B (x2，y2)
由 y＝kx＋3
x^2 /12+y^2/16=1
得： (4+3 k^2) x^2+18kx-21=0
此时，△=（18k）^2-4（4+3k^2）（-21） 大于0恒成立，
且 x1+x2= -18k/（4+3k^2)， x1*x2=-21/（4+3k^2)
∵ 向量OP=向量OA+向量OB，∴四边形OAPB是平行四边形
若存在直线l ，使得四边形OAPB是矩形，则OA⊥OB，即 向量OA*向量OB=0
∴ 向量OA*向量OB= x1*x2+y1*y2=0
即（1+k^2）x1*x2+3k（x1+x2）+9=0
（1+k^2）*（-21）/（4+3k^2) +3k*（-18k）/（4+3k^2)+9=0
由此解得：k= 正负根号5/4 ∴存在直线l：y=正负根号5*x/4+3 ，使得四边形OAPB是矩形