Question

利用函数的奇偶性计算下列定积分？

1、∫上限π/3，下限-π/3 x^2*sinx/cos^2*x dx
2、∫上限1，下限-1 （4x^3-6x^2+7）dx

Answer 1

1、∫上限π/3，下限-π/3 x^2*sinx/cos^2*x dx

令f(x)=x^2*sinx/cos^2x
f(-x)=(-x)^2*sin(-x)/cos^2(-x)
=-x^2*sin(x)/cos^2x
=-f(x)
所以f(x)是一个奇函数

因为积分上下限关于原点对称,
所以最后定积分的值是:0

2、∫上限1，下限-1 （4x^3-6x^2+7）dx

函数f(x)=4x^3是奇函数
函数f(x)=-6x^2是偶函数
函数f(x)=7是偶函数

所以:
积分:(-1,1)(4x^3-6x^2+7)dx
=积分:(-1,1)(-6x^2+7)dx
=2*积分:(0,1)(-6x^2+7)dx
=2*[-2x^3+7x]|(0,1)
=10