Question

求证：任意函数都可表示成一个奇函数和一个偶函数的和

帮帮忙吧~~~~~~

Answer 1

任意函数f(x),构造两个函数,g(x),h(x)
其中,g(x)=(f(x)-f(-x))/2
h(x)=(f(x)+f(-x))/2
由于g(-x)=(f(-x)-f(x))/2=-g(-x)
h(-x)=(f(-x)+f(x))/2=h(x)
所以g(x)为奇函数,h(x)为偶函数
g(x)+h(x)=(f(x)-f(-x))/2 + (f(x)+f(-x))/2 = f(x)。
所以得证:
任意函数f(x),都可以表示成一个奇函数和一个偶函数的和
得证。

Answer 2

奇函数： (f(x)-f(-x))/2

偶函数： (f(x)+f(-x))/2

两个函数之和：
(f(x)-f(-x))/2 + (f(x)+f(-x))/2 = f(x)。
任意函数f(x),都可以表示成一个奇函数和一个偶函数的和
得证。